Triangle tangent à une conique projective

Bonsoir Julia,

Tu peux regarder du côté du théorème de Brianchon.
P.S. : Le point de concours des droites $(AA'),(BB'),(CC')$ s'appelle le perspecteur de la conique $\cal C$.

Bonjour Julia,

Ce que tu cherches est en fait un cas limite de Brianchon, en considérant dans cet ordre-là les six tangentes $AB,BC,AC,AC,AB,BC$.

Bonsoir pappus,

Il faut quand mettre s'y connaître en parabole affine !

Bonsoir,
Le calcul analytique dans le cas de la parabole $y=x^2$ est très court, quand on sait que l'équation de la tangente au point d'abscisse $x$ est $Y-x^2=2x(X-x)$.

Bonjour Julia,

Brianchon concerne six tangentes à une conique desquelles on forme trois droites concourantes, c'est la version duale du théorème de Pascal qui concerne six points d'une conique desquels on forme trois points alignés.
Sur la figure suivante, que se passe-t-il au niveau des tangentes lorsqu'on fait tendre $M$ vers $A$ ?
Une fois cela acquis, on peut appliquer sans sourciller Brianchon aux six tangentes $AB,BC,AC,AC,AB,BC$ à ta conique inscrite dans le triangle $ABC$.

@Julia :
J'explique ici la figure qu'on trouve [là].
$BC$ est tangente à ta conique $\cal C$ donc, dans la carte affine où $BC$ est à l'infini, la trace de $\cal C$ est une parabole de point à l'infini $A'$.
En particulier, $AA'$ (en vert) est dans la direction asymptotique.
De plus, $B'C'$ étant la polaire de $A$, le milieu de $B'C'$ est sur $AA'$ (c'était autrefois classique je crois).
Soit alors $\Omega$ tel que $AB'\Omega C'$ soit un parallélogramme.
Il est clair que $\Omega\in AA'$.
Enfin, $B$ et $C$ étant les points à l'infini respectifs des droites $AC'$ et $AB'$, on a également $\Omega\in BB'\cap CC'$ par construction.

Bonjour Julia,

Pour ta première question, on appelle conique inscrite dans $ABC$ toute conique tangente aux droites $AB,AC,BC$.
Comme je suis fan de paraboles, j'attache la figure suivante.

Bonjour
Que sous-entends-tu en disant que le théorème de Pascal peut se montrer directement?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Julia Paule
Il y a des dizaines de démonstrations du théorème de Pascal sans envoyer la droite de Pascal à l’infini et j’en ai donné quelques unes ici même sans obtenir la moindre réaction.
A laquelle d’entre elles fais-tu allusion?
Meilleurs Vœux
[small]p[/small]appus

Merci Julia Paule
Tu n'as pas détaillé mais on devine que c'est une démonstration de géométrie projective, birapports, perspective, etc...
Bref tout l'attirail de la géométrie projective et de ses groupes de transformations doit y passer comme on le sait.
Peut-on appeler cela de la géométrie synthétique?
Je ne sais pas
Mais en tout cas, il faut maitriser sa géométrie projective.
Grosso modo une conique projective a une structure de droite projective.
Elle possède donc un groupe de transformations préservant cette structure.
Les éléments de ce groupe sont appelés homographies de cette conique.
Pour décrire géométriquement l'action d'une homographie sur les points de la conique, on a besoin d'un objet appelé axe de l'homographie.
Et le théorème de Pascal apparaît alors comme un minuscule corollaire de l'existence de cet axe.
Comme la géométrie projective a disparu, on comprend que cette démonstration passe par dessus la tête de la plupart de nos étudiants qui n'auront jamais qu'à faire ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore à leurs élèves en guise de géométrie.
Amicalement
[small]p[/small]appus