Bricolage 1 de taupin projectif
Bonjour
Voici un bricolage de taupin. Je vous remercie de vos réactions (indignées).
Soit une droite projective réelle D,et son repère UN,O,INFINI.
1°) Il s'agit de construire sur D le point d'abscisse projective 3.
a/ la question a-t-elle un sens ?
b/ de UN, point de D-INFINI,on trace une droite quelconque et une parallèle à cette droite par le symétrique de O de( D-INFINI) par rapport à UN.
De O on mène une droite qui coupe les précédente en x1 et x2. Par construction, sur cette droite, les trois points O,x1 et x2 ont pur abscisse affine 0,1 et 2.
c/ Je cherche sur cette droite le point d'abscisse 3 et un rapide calcul donne x=3/2. Je projette la division (x2,0,x1,x) sur D par la perspective de centre C, intersection de UN/x1 et INFINI/X2, qui me donne le point TROIS d'abscisse projective 3.
d/ Si la question avait un sens, la consruction indiquée est-elle la bonne , fausse, ou y-a-t-il plus simple ?
2°) Il n'y a pas sur D d'ordre comme sur la droite réelle "munie" de ses DEUX infinis, car elle est "topologiquement un cercle". Il n'empêche qu'un point d'abscisse donnée n'est pas n'importe où. Un certain classement, une certaine représentation ordonnée ont l'air possibles, un "ordre local". Quand on construit le point -1, on trouve un point symétrique de 1, "à gauche de O"...C'est un peu mieux que le hasard ou l'indétermination.
Pouvez-vus m'aider à mieux sentir les choses ?
Amicalement,
Mathisse.
Voici un bricolage de taupin. Je vous remercie de vos réactions (indignées).
Soit une droite projective réelle D,et son repère UN,O,INFINI.
1°) Il s'agit de construire sur D le point d'abscisse projective 3.
a/ la question a-t-elle un sens ?
b/ de UN, point de D-INFINI,on trace une droite quelconque et une parallèle à cette droite par le symétrique de O de( D-INFINI) par rapport à UN.
De O on mène une droite qui coupe les précédente en x1 et x2. Par construction, sur cette droite, les trois points O,x1 et x2 ont pur abscisse affine 0,1 et 2.
c/ Je cherche sur cette droite le point d'abscisse 3 et un rapide calcul donne x=3/2. Je projette la division (x2,0,x1,x) sur D par la perspective de centre C, intersection de UN/x1 et INFINI/X2, qui me donne le point TROIS d'abscisse projective 3.
d/ Si la question avait un sens, la consruction indiquée est-elle la bonne , fausse, ou y-a-t-il plus simple ?
2°) Il n'y a pas sur D d'ordre comme sur la droite réelle "munie" de ses DEUX infinis, car elle est "topologiquement un cercle". Il n'empêche qu'un point d'abscisse donnée n'est pas n'importe où. Un certain classement, une certaine représentation ordonnée ont l'air possibles, un "ordre local". Quand on construit le point -1, on trouve un point symétrique de 1, "à gauche de O"...C'est un peu mieux que le hasard ou l'indétermination.
Pouvez-vus m'aider à mieux sentir les choses ?
Amicalement,
Mathisse.
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Réponses
$D\ $ est une droite projective réelle et $(UN, O,INFINI)\ $ son repère.
Son repère?
Comme si elle n'en avait qu'un?
Non, cent fois non!
La droite projective $D$ a une infinité de repères projectifs et le repère $(UN,O,INFINI)\ $ n'est qu'un modeste repère projectif parmi beaucoup d'autres. Les points $UN\ $, $O\ $, $INFINI\ $ sont donc des points de $D\ $ distincts deux à deux et à part cela quelconques.
Quant aux noms que tu leur as donnés, tu es évidemment libre de les choisir mais si ce choix cache quelque chose, il faudra nous l'expliquer!
Un peu plus loin tu parles de $UN$ point de $D-INFINI$ puis de parallèle.
Tout ceci est fort ambigu!
Es-tu dans un plan affine où on peut parler de parallèles ou bien dans un plan projectif où on ne peut pas en parler?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je choisis un repère parmi une infinité : j'aurais dû dire : "soit un repère abc de la droite projective D". Mais l'erreur est quand même mince.
Bien entendu que c'est ambigu !!! mais pas plus que le fait de représenter une droite projective dans tous les manuels comme... une droite... alors que c'est topologiquement un cercle.
J'ai choisi ces noms par référence la définition de l'abscisse projective x par le birapport des quatre points infini,O,1x.
D-INFINI est une droite affine : l'ambiguïté est là.
Le bricolage consiste, tout à fait d'accord, à mélanger dans un "dessin" une droite projective avec un point INFINI, et une droite affine avec son point À L'INFINI, non représenté.
Ceci dit : la question posée est-elle légitime et la solution proposée l'est-elle ?
Ce n'est pas encore tout à fait clair
1° Puisque tu parles de parallèles, tu travailles dans un plan affine, point barre!!!
2° $D\ $ est donc une droite de ce plan affine, droite que tu peux éventuellement munir d'une structure projective si tu sais ce que cela veut dire!!
3° Sur cette droite $D\ $ du plan affine il faut que tu nous expliques ce que tu entends par les points $UN\ $, $O\ $, $INFINI\ $.
Une fois ces explications données, on pourra commencer à discuter sérieusement!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il est inutile de faire de l'ironie sur mes connaissances projectives... par contre j'apprécie votre aide patiente.
Je sais ce qu'est un repère projectif: c'est la projection d'une base (e1,e2) d'un sous-esapace vectoriel à deux dimensions de l'espace vectoriel sous-jacent R3, plus le projette d'un vecteur comme e1+e2.On peut choisir le plan z=0 comme sous-espace vectoriel.
Si on utilise base canonique, les représentants les plus simples des points constituant le repère sont (0,1), (1,0) et (1,1).
Là où est l'ambiguïté que je confesse bien volontiers, c'est comment on dote cette droite affine d'une structure projective et comment on superpose les points O et 1 dans leur double acception affine et projective...
Je me borne à retirer/ajouter un point en effet en déclarant que la droite y=o du plan z=o est la droite de l'infini.
Je dois quitter ce soir mais je reviens demain matin.
Merci de votre aide
PS : cette question a été posée à l'oral de l'X en 1963 ou 1964 et la personne qui me l'a racontée en tremblait encore de rage...
J'espère surtout qu'à ton retour, tu nous auras expliqué ce que sont ces fameux points $UN\ $, $O\ $, $INFINI\ $
Joyeux Noël
[small]p[/small]appus
".Je sais ce qu'est un repère projectif: c'est la projection d'une base (e1,e2) d'un sous-esapace vectoriel à deux dimensions de l'espace vectoriel sous-jacent R3, plus le projette d'un vecteur comme e1+e2.On peut choisir le plan z=0 comme sous-espace vectoriel.
Si on utilise base canonique, les représentants les plus simples des points constituant le repère sont (0,1), (1,0) et (1,1)."
Joyeux Noël à vous aussi.
1° Je te demande simplement de m'exhiber graphiquement un repère projectif de la droite $D.\qquad$
2° Je te demande aussi de me préciser ce que sont les points $UN\ $, $O\ $, $INFINI\ $ et surtout ce dernier point que tu notes $INFINI\ $
Une fois ceci fait, on pourra vraiment commencer à discuter!
Joyeux Noël à toi et à tous les tiens!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Si c'est cela, je le fais et reviendrai quand ce sera fini...
Bien sûr que non!
Pourquoi ne réponds-tu pas à mes questions très précises?
J'en viens à me demander si tu connais vraiment la géométrie projective?
En tout cas, je suis sûr d'une chose, la question posée à ce taupin de 1963 ou 1964 ne lui a certainement pas été proposée sous la forme un peu farfelue que tu nous a racontée!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Monsieur l'Examinateur,
Sauf votre respect, la question n'a pas de sens.
On ne "dessine" pas une droite projective sur une" feuille de papier" affine euclidienne.
On dessine une droite affine, avec un repère (origine, unité): 0,1.
On munit cette droite d'une structure projective en faisant correspondre à chaque point, le point de rencontre entre le cercle de rayon un cendré en O et la droite qui joint le point en question au pôle nord N (projection stéréographique).
Au point N on fait correspondre un point W du plan. On a ainsi une bijection entre le cercle et l'ensemble (droite affine+W.)
Cela ne change rien à la position des points 2,3 etc...
MAIS la distance, mesurée sur cette nouvelle droite, entre 0 et 1 n'est pas 1.
L'ai-je bien descendu ?
PS: je suis plongé dans les manuels de projective depuis deux ans et je faisais tas d'exercices sur les coniques en utilisant les propriétés projectives et même les imaginaires.
MAIS COMME UN CUISNIER QUI NE CONNAIT PAS LA CHIMIE.La question étai farfelue, mais je crois que l'examinateur l'avait posée à dessein pour voir dans quel sens partait le candidat et il a dû s'amuser à le voir patauger.
Ta figure est illisible. On ne peut rien en tirer.
Plus j'essaye de te demander des tentatives d'explications, plus tu patauges.
On a absolument pas besoin de la sphère de Riemann pour définir une structure de plan projectif réel.
Tu confonds géométrie projective et géométrie circulaire!!
Quant à la question posée au taupin 1963 ou 1964, je suppose sans en être sûr qu'elle est la suivante:
Etant donnés trois points $(A,B,C)\ $ distincts deux à deux d'une droite affine $\Delta$, construire le point $M\in \Delta\ $ tel que:
$$(A,B,C,M)=3.\qquad$$
où la notation $(\bullet,\bullet,\bullet,\bullet)$ désigne le birapport de quatre points alignés.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Quant à la construction demandée, la méthode à suivre était pratiquement exposée dans le Lebossé-Hémery de Seconde.
Merci pour ta dernière figure.
Visiblement tu essayes de me convaincre que tu connais la géométrie projective.
De cela je ne doute pas.
Ta dernière figure est somme toute très banale. Elle montre que le cercle comme toute autre conique a une structure de droite projective.
Par contre je ne sais pas si tu maîtrises très bien la géométrie projective.
Chaque fois que je t'ai posé une question précise concernant cette géométrie, tu n'y as pas répondu et préféré raconter un morceau de cours sans rapport avec mes questions. Ce n'est pas ainsi qu'on dialogue!
Je te félicite de ton intérêt pour la géométrie et je te souhaite un très joyeux Noël.
[small]p[/small]appus
@JLT : simple et de bon goût. Mention T.B.(tu)
Ta solution est parfaitement banale et fait partie du B.A.BA de la géométrie projective.
Les noms bizarres donnés aux points de la figure par Mathisse obscurciraient plutôt la solution.
Il y a quand même quelque chose de curieux dans ses propos.
Il a mélangé un instant géométrie circulaire et géométrie projective en parlant inutilement de sphère de Riemann.
Et pourtant la géométrie circulaire joue un rôle, elle aussi, dans cette construction.
Alors je pose la question:
Etant donnés trois points distincts $(A,B,C)\ $ deux à deux distincts d'une droite euclidienne $\Delta\ $, comment construire le point $M\in \Delta\ $ tel que $(A,B,C,M)=3$ en utilisant la géométrie circulaire.
Et ce qui est surprenant dans cette construction, c'est qu'elle ne sort pas de la droite comme le fait la construction de $JLT.\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Prière de faire une figure!!!!!!!
Je vois que le réveillon a été bien arrosé puisque notre spécialiste en géométrie projective m'a l'air tout aussi performant en géométrie circulaire!
Rappelons quand même que la géométrie circulaire a disparu quelques années après la géométrie projective.
En principe, on devrait plutôt se rappeler de la construction circulaire que de la construction projective de JLT.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici mon cadeau de Noël.
La démonstration circulaire est basée sur le fait qu'une inversion conserve le birapport de quatre points alignés.
Soit $f$ l'inversion de pôle $A$ échangeant $B$ et $C$ et soit $M'=f(M)$.
Alors $$(A,B,C,M)=(\infty,C,B,M')=\dfrac{\overline{M'C}}{\overline{BC}}=3.\qquad$$
D'où la construction suggérée par ma figure ci-dessous.
Mais bof, on peut et on doit l'oublier tout de suite puisque les inversions ont disparu dans la nuit brune.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il faudra quand même construire $M$ à partir de $M'$ et ... on n'échappe pas à Thalès.
Bon réveillon en confinement.
Les points $M$ et $M’$ s’échangent dans une inversion de pôle $A$!!!
Je ne vois pas ce que l’axiome de Thalès vient faire dans cette constatation de géométrie circulaire!!!!!
Meilleurs Vœux
[small]p[/small]appus
Bien sûr, on doit construire l'image d'un point dans une inversion donnée.
Cette défunte construction est expliquée en long et en large dans le Lebossé-Hémery et effectivement on échappe pas à la règle ébréchée et au compas rouillé.
Même si, aujourd'hui, la géométrie a pratiquement totalement disparu dans notre belle république une et indivisible, il n'en reste pas moins qu'inexplicablement subsistent des logiciels de géométrie dynamique très performants.
Pour effectuer une inversion, on sélectionne l'icone adéquate et on appuie sur la touche Entrée.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici en PJ une construction scolaire.
Soit un plan affine de sous-jacent Vect(e1,e2) et une droite contenant A, B et C distincts.
Je mène les // à e1 par A et e2 par B (j'aurais aussi pu partir de C), qui se coupent en O.
Je projette C sur le repère Oe1e2 en e'1, e'2.
La droite affine est dotée d'un repère et d'une structure projectifs en disant que (1;o),(o;1) et (1:1) sont les coordonnées homogènes de A,B et C par rapport à la base e'1,e'2.
Pour repérer le point(1:3) il suffit de relier O au point O+e'1+"e'3.
Amicalement à tous et merci de votre attention
Bonsir
Mathisse.
PS: dans la Gloire de mon père de Pagnol, l'instituteur se plaint des l'esprit tortueux des examinateurs "du secondaire" qui font passer le concours de l'école normale (d'instituteurs).
Il n'y a que les problèmes linéaires qui peuvent se construire à la règle seule.
Il y a des constructions avec le compas seul dont une célèbre : construire le centre d'un cercle avec le compas seulement. C'est le fameux problème de Napoléon. Combien de coups de compas faut-il ?
Toute construction à la règle et au compas peut se faire au compas seul (théorème de Mascheroni).
Je pose la question, car il me semble que pour cette construction du point d'abscisse 3 connaissant un repère de points d'abscisse 0,1 et infini, le compas est utilisé ?
Merci d'avance.
Les propos de Mathisse me semblent toujours bien fumeux.
Il ne s'agit pas de mettre une structure projective sur la droite $\Delta$ puisqu'elle en possède déjà naturellement une .
J'essaye de déchiffrer son énoncé alambiqué.
On a une droite affine $\Delta$ d'un plan affine.
On se donne dessus trois points arbitraires distincts deux à deux, notés lourdement $O\ $, $UN\ $, $INFINI\ $.
Je n'ai pas réussi à lui faire dire qu'ils étaient arbitraires
On considère la droite projective standard $\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\infty.\qquad$
Soit $f:\overline{\Delta}\mapsto \overline{\mathbb R}\qquad$ l'unique transformation projective. telle que:
$f(O)=0\ $, $f(UN)=1\ $, $f(INFINI)=\infty\ $
Construire l'unique point $D\in \Delta\ $ tel que $f(D)=3.\qquad$
Evidemment puisque: $(\infty,0,1,3)=3$ et que $f$ conserve le birapport, cela revient à construire le point $D\in \Delta\ $ tel que:
$$(INFINI,O,UN,D)=3.\qquad$$
On peut toujours changer de notations et appeler $A\ $ le point $INFINI\ $, $B\ $ le point $O$ et $C\ $le point $UN\ $ et on est bien ramené à construire le point $D\ $ tel que $(A,B,C,D)=3$
Much ado about nothing!!!!
Beaucoup de bruit pour rien!!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Dans l’état où se trouve l’enseignement de la géométrie actuellement, je trouve ces discussions autour de l’emploi de la règle et du compas un peu futiles dans la mesure où même les constructions les plus élémentaires ne sont plus connues.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pappus et Zephyr ont loué ta construction mais, c'est la même que la mienne (tracer des parallèles ou des droites concourantes revient au même quand on cherche un birapport) et d'autre pat tu 'n'as pas répondu aux premières objections de Pappus: qui sont les points.
Je serais très reconnaissant si Pappus ou toi pouviez regarder ce que j'ai posté juste avant la première intervention de Julia, avec le graphique joint.
Les points choisis sont quelconques mais pour doter la droite affine d'une structure projective, il suffit d'utiliser la définition: c'est l'image d'une base et d'un point unité. On se donne donc la base (qui est en effet celle qu'on veut), et on trace à partir de là. Cette "méthodee" me semble celle qui colle le mieux aux définitions, et on n'a pas besoin de faire intervenir nommément le birapport.
Me suis-je trompé ?
Merci sincèrement de votre aide.
PS: je pense que c'et ce que l'examinateur attendait pour que le candidat prouve qu'il avait compris le cours ?
Maintenant qu'on maîtrise bien la géométrie projective, que les repères projectifs n'ont plus le moindre secret pour nous, que nous sommes les champions du monde du birapport et surtout surtout du birapport 3, voici un exercice très très élémentaire.
Soit $ABC\ $ un triangle inscrit dans un cercle $\Gamma$.
Soit $M'\ $ un point quelconque de $\Gamma.\qquad$
La droite $AM'$ coupe la droite $BC\ $ en $M''.\qquad$
Lieu du point $M\ $ tel que:
$$(A,M',M'',M)=3.\qquad$$
Ceux qui sont dépendants d'ETC identifieront ce lieu avec le plus grand soin.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pappus, je trouve avec Morley circonscrit la conique circonscrite d'équation:
$3z^2 + (a^2+2a(b+c)+bc)z\overline{z} + 3a^2bc\overline{z}^2$
$ - 3(2a+b+c)z - 3a(a(b+c)+2bc)\overline{z}$
$ + 2(a^2+2a(b+c)+bc)=0$
Son centre est $ce=\dfrac{3a((b+c)a^3 + 2(b^2-3bc+c^2)a^2 - bc(b+c)a + 2b^2c^2)}{a^4 + 4(b+c)a^3 + 2(2b^2-13bc+2c^2)a^2 + 4bc(b+c)a + b^2c^2}$.
Cordialement,
Rescassol
C’est exact mais j’aurais préféré un raisonnement un peu plus géométrique.
Je te signale que l’ensemble des points d’ETC situés sur cette conique est non vide!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Oui, Pappus, elle passe par l'éternel point de Lemoine.
Mes meilleurs vœux également.
Cordialement,
Rescassol
C’est exact et j’ai construit cet exercice à partir du point de Lemoine.
Au point de vue projectif, c’est un simple exercice sur les défuntes homologies et sur la façon dont elles opèrent sur les coniques.
Amicalement
[small]p[/small]appus
pappus, cette réflexion sur la futilité de distinguer construction à la règle seule ou à la règle et compas m'étonne :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2150024,2152912#msg-2152912
En effet,
1) ce n'est pas parce que la géométrie n'est plus (beaucoup) enseignée dans les collèges et lycées qu'il faut faire les moutons de Panurge et se jeter par dessus bord avec les autres ; cette réflexion m'étonne de pappus, qui se plaint de cet état de choses, et qui essaie de ressusciter ici la "défunte" géométrie projective,
2) "Les constructions à la règle seule sont celles de la géométrie projective" : encore faut-il le prouver...,
3) il me semble que l'utilisation du compas sous-entend qu'on parle de distance, et qui dit distance dit géométrie euclidienne, non ?
Bref, pappus, pourrais-tu faire la construction du point d'abscisse 3 sur une droite projective à la règle seule ? Cela me permettrait de chasser l'idée que cette réflexion provient de ton ignorance.
Bonnes fêtes à tous.
Dans ton dernier exercice, $M$ est l'image de $M'$ par l'homologie de pôle $A$, d'axe $BC$ et de birapport $-2$.
C'est exact!!
Mais comme je voulais utiliser le birapport $3$ dont on nous avait gargarisé juste avant, je me suis arrangé avec l'orbite de $-2$ dans le défunt groupe du birapport.
Comme je l'ai dit, pour fabriquer cet exercice, j'ai examiné attentivement la configuration du point de Lemoine et les birapports constants qu'elle secrétait.
J'ai donc regardé la configuration du point de Lemoine avec les lunettes de la géométrie projective.
Si tu projettes la configuration du point de Lemoine, qu'obtiens-tu?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici ma propre figure:
Le lieu de $M\ $ est la conique image du cercle circonscrit par l'homologie de Gai Requin de pôle $A\ $, d'axe $BC\ $ et de rapport $-2$.
Elle passe par les points $B$ et $C$ et par le point $A$ où elle est tangente au cercle circonscrit, je n'ose demander pourquoi.
Elle passe par le point $N$ tel que $AN'\parallel BC$.
Elle passe aussi par le point de Lemoine $K$, facile à voir si on a une bonne connaissance des propriétés projectives de ce point.
Ma figure suggère d'ailleurs une construction nouvelle de $K\ $, laquelle?
Amicalement
[small]p[/small]appus
auriez vous la gentillesse de lire ce que j'ai mis dans le fil, juste après votre remarque sur le compas rouillé et la règle ébrechée..
Cordialement.