Géométrie projective - géométrie affine

Bonjour,

mathisse, ton (j'emploie le "tu" de rigueur sur ce forum) message m'inspire mais ne m'avance pas beaucoup. Merci quand même pour l'info, à savoir que l'enseignement de la géométrie projective en MP a disparu aussitôt apparue. Cela ne m'étonne pas, la géométrie projective est somme toute assez simple (il n'y a pas de parallèles, les droites situées dans un même plan sont sécantes), mais la construction mathématique passe par l'ensemble quotient d'un espace vectoriel, je ne sais pas si c'est encore au programme.

Merci pappus, je détaille. Un espace affine $\cal{E}$ de direction $E$ admet un prolongement vectoriel canonique $\hat {\cal{E}} $, qui contient $E$. L'espace projectif associé $\mathbb{P}(\hat {\cal{E}})$ se décompose en $\mathbb{P}(\hat {\cal{E}})$ \ $ \mathbb{P}(E) $ son projectivisé en bijection avec $\cal{E}$, et $\mathbb{P}(E)$ son hyperplan à l'infini.

Soit donc des hypothèses énoncées dans un espace affine $\cal{E}$. Pour fixer les idées, prenons le théorème de Pascal : les points $A, B,C,A',B',C'$ sont sur une conique lisse affine du plan affine, et les droites considérées $(A'B)$, $(AB')$, etc... sont sécantes. On la regarde dans son projectivisé. On obtient une conique lisse projective du plan projectif, dont les points sont tous situés dans le projectivisé $\mathbb{P}(\hat {\cal{E}})$ \ $ \mathbb{P}(E)$, et les droites s'y coupent aussi. Donc on a le résultat, et donc le résultat reste valable dans l'espace affine ?

Mais il y a peut-être des cas où ce raisonnement ne marche pas ? C'est ce que tu veux dire par : "suivant que telle ou telle partie de la configuration projective se retrouve dans la droite située à l'infini ?

Merci beaucoup pappus. Supposons qu'on ait une configuration projective, qui traduit un résultat obtenu dans l'espace projectif. Maintenant, on part d'une configuration affine (c'est ce qui m'intéresse), située dans un plan affine pour simplifier les choses, qui présente la même configuration, avec les mêmes propriétés d'incidence entre les points, de tangence, etc ..., en rajoutant l'hypothèse que les droites de la configuration qui nous intéressent se coupent. On complète projectivement ce plan par une droite à l'infini qui ne contient par hypothèse aucun des points de la configuration (car ceux-ci sont tous situés dans le plan affine).
Donc le résultat reste vrai dans le plan affine, car tous les points restent dans le plan affine, aucun point ne part à l'infini.

Par exemple, le théorème de Pascal reste vrai dans le plan affine :
soit 6 points distincts $A,B,C,A',B',C'$ situés sur une conique lisse d'un plan affine, tels que les droites $(AB')$ et $(A'B)$, $(B'C)$ et $(BC')$, $(AC')$ et $(A'C)$ soient sécantes respectivement en $P, Q, R$, alors les points $P,Q,R$ sont alignés.
(les droites $(AA')$ et $(BB')$ peuvent être parallèles et se couper à l'infini, on s'en moque)

Concernant la figure du plan affine formée par un parallélogramme et ses deux diagonales, on a des droites parallèles, on n'est pas dans l'hypothèse que les droites de la configuration qui nous intéressent se coupent. Dans le projectivisé, les droites parallèles se coupent sur la droite située à l'infini, on obtient un quadrilatère complet !

Je vois : les points d'une diagonale du quadrilatère complet contenant deux sommets opposés et les points d'intersection avec les deux autres diagonales sont en division harmonique !

C'est vrai que cela en devient un cas très particulier. Des fois je me dis qu'il y a autant de chances que des droites soient parallèles qu'un déterminant d'être nul dans $\mathbb{R}$, c'est-à-dire une probabilité égale à 0. Et pourtant on les considère ... ;-). Si quelqu'un pouvait m'expliquer.
Merci pappus.