Deux aires
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle,
2. (I) le cercle inscrit,
3. Ic le C-excentre de ABC
4. DEF le triangle de contact de ABC.
Question : 2.[IcDC] = [ABC].
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle,
2. (I) le cercle inscrit,
3. Ic le C-excentre de ABC
4. DEF le triangle de contact de ABC.
Question : 2.[IcDC] = [ABC].
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Au moins je sais faire tes exercices triviaux.
J'ai sorti mon Lalesco en son chapitre 16 et j'ai appliqué la formule 16.31, page 114 sauf qu'elle est erronée. Il faut donc rétablir la bonne formule
Eh oui, même dans les meilleurs livres il y a des typos!
Généralisation
$I$ est un point quelconque à l'intérieur du triangle $ABC$.
C'est le centre d'une conique inscrite dont le triangle des contacts est $DEF$.
$I_C$ est l'image de $I$ dans l'homologie harmonique de pôle $C$ et d'axe $AB$ et on a toujours:
$$2.[I_CDC]=[ABC].\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'utilise les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
$I\simeq \left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\end{array}\right], \qquad
I_c\simeq \left[\begin{array}{c} a\\ b\\-c \end{array}\right] ,\qquad
D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ p-c\\p-b\end{array}\right]$
On a :
$\dfrac{\mathcal{A}(I_C, D,C)}{\mathcal{A}(A, B, C)} =\dfrac{1}{(a+b+(-c))(0+p-c+p-b)(0+0+1)}\left|
\begin{array} {ccc} a & 0 &0\\
b&p-c&0\\
-c&p-b&1
\end{array}
\right|.$
soit
$\dfrac{\mathcal{A}(I_C, D,C)}{\mathcal{A}(A, B, C)} =\dfrac{a(p-c)}{a(a+b-c)}=\dfrac{1}{2}$
ce qui conduit à
$2\mathcal{A}(I_C, D,C)=\mathcal{A}(A, B, C).$
Amicalement
pourquoi vouloir enfoncer une punaise avec un marteau?
En abaissant la perpendiculaire à (BC) issue de Ic, le résultat apparaît à ton regard...
Meilleurs Voeux et santé pour 2021
Jean-Louis
Il y a plus gros comme marteau: Cordialement,
Rescassol
J'utilise les coordonnées barycentriques pour la généralisation que tu proposes.
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
$I\simeq \left[\begin{array}{c} p\\ q\\ r\end{array}\right], \qquad
I_c\simeq \left[\begin{array}{c} -p\\ -q\\r\end{array}\right] ,\qquad
D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ \dfrac{1}{p - q + r}\\\dfrac{1}{ p + q - r }\end{array}\right]$
On a :
$\dfrac{\mathcal{A}(I_C, D,C)}{\mathcal{A}(A, B, C)} =\dfrac{1}{(-p-q+r)(0+\dfrac{1}{ p -q +r }+\dfrac{1}{ p + q - r })(0+0+1)}\left|
\begin{array} {ccc} -p& 0 &0\\
-q&\dfrac{1}{ p -q +r }&0\\
r&\dfrac{1}{ p + q - r }&1
\end{array}
\right|.$
soit
$\dfrac{\mathcal{A}(I_C, D,C)}{\mathcal{A}(A, B, C)} =\dfrac{\dfrac{-p}{p-q+r}}{ \dfrac{-2p}{p-q+r} }=\dfrac{1}{2}$
ce qui conduit à
$2\mathcal{A}(I_C, D,C)=\mathcal{A}(A, B, C).$
Amicalement
https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ vol. 50 Autour du triangle de contact 73. 1. Aires, p. 11...
Sincèrement
Jean-Louis