Une longueur croisée

Bonjour,

Une démonstration qui ne me satisfait pas entièrement.
On choisit un point \(A\), soit \(B\) un point à distance minimum de \(A\). Soit \(C\) un autre point, \(D\) un point à distance minimum de \(C\).
Supposons que les segments \([AB]\) et \([CD]\) se coupent en un point \(I\) intérieur aux deux segments. Le cercle de centre \(C\) passant par \(D\) découpe une corde \([JK]\) sur le segment \([AB]\), puisque ni \(A\) ni \(B\) ne sont à l'intérieur de ce cercle tandis que \(I\) y est. Par ailleurs \(D\) est sur le petit arc sous-tendu par cette corde. L'angle géométrique \(\widehat{JDK}\) est donc supérieur à \(90°\) et il en est a fortiori de même pour \(\widehat{ADB}\). Donc \(D\) est à l'intérieur du cercle de diamètre \([AB]\), et par conséquent \(AD<AB\) : contradiction.

Bonjour,

Voronoï et Delaunay seraient ils dans le coup ?

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Non, ça m'y a fait penser, entre deux préparatifs, c'est moi qui suis aux fourneaux.
Ce n'est pas très facile de se concentrer sur des mathématiques ce soir, et demain ce ne sera pas mieux.

Cordialement,

Rescassol

@GaBuZoMeu : Merci pour cette "démonstration" qui peut être bourbakisée
et bonne année 2021 en espérant qu'elle sera "moins moche" que 2020,
Il n'est pas interdit de rêver.

Merci Soland, cette démonstration élémentaire me satisfait plus.
Je la reformule :
On suppose que B est un point à distance minimum de A et que [AB] et [CD] se coupent en un point intérieur aux deux segments.
Alors AB+CD > AD + CB et comme AB <= AD on déduit CD > CB, et donc D n'est pas à distance minimum de C.