Birapport et repère projectif sur une droite

Bonjour,

Soit $\Delta$ une droite projective, et $E,F,G,H$ sont 4 points distincts de $\Delta$. Je me demande si le birapport des 4 points $[E,F,G,H]$ dépend du repère choisi sur la droite.

En effet, si on choisit le repère $E,F,G$ dans cet ordre, il existe une unique homographie $\phi : \Delta \rightarrow P^1(K)$ telle que $\phi(E)=[1:0], \phi(F)=[0:1], \phi(G)=[1:1]$. Alors $[E,F,G,H]=\phi(H)$.

Par exemple, si on choisit le repère $F,G,E$ dans cet ordre, il existe une unique homographie $\phi' : \Delta \rightarrow P^1(K)$ telle que $\phi'(F)=[1:0], \phi'(G)=[0:1], \phi'(H)=[1:1]$. Alors $[F,G,E,H]=\phi'(H)$. Mais alors $[E,F,G,H]=\dfrac{1}{1-[F,G,E,H]}=\dfrac{1}{1-\phi'(H)}$.

Ma question est : a-t-on toujours $\phi(H)=\dfrac{1}{1-\phi'(H)}$ ?

Je crois que j'ai presque répondu à la question en la posant (il est évident que oui) : le birapport $[E,F,G,H]$ de 4 points $E,F,G,H$ ne dépend pas du repère choisi sur la droite, mais il se calcule en choisissant le repère $E,F,G$ qui induit l'unique homographie $\phi$, telle que ...etc. C'est alors $[E,F,G,H]=\phi(H)$.

Pouvez-vous confirmer ? J'ai encore un doute : si on a choisi un tout autre repère $A,B,C$ sur la droite, peut-on continuer à dire que le birapport $[E,F,G,H]$ reste le même ? Il me semble que oui (d'après la définition même du birapport : on se moque de ce nouveau repère $A,B,C$, $[E,F,G,H]$ est égal à $\phi(H)$ tel que $\phi$ est l'unique homographie telle que $\phi(E)=[1:0], \phi(F)=[0:1], \phi(G)=[1:1]$) , mais bon.

Merci d'avance.