Constructibilité de $\sqrt{\phi}$

Construction à la règle et au compas du nombre d'or $$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \hspace{6pt} \text{de sa racine carrée} \hspace{6pt} \sqrt{\phi},\hspace{6pt} \text{ainsi que} \hspace{6pt} \frac{1}{\sqrt{\phi}}, \hspace{6pt} \frac{1}{\phi}\hspace{6pt} \text{et} \hspace{6pt}\frac{1}{\phi^{2}} \hspace{6pt} \text{sur une même figure.}$$

On part d'un carré $ABCD$ de coté $1$. On construit ensuite les points $I$ milieu du segment $[AB]$, $E$ appartenant à la demi-droite $[AB)$ tel que $IC=IE$, $F$ appartenant à la demi-droite $[BC)$ tel que $AF=AE$, $G$ appartenant au segment $[AF]$ tel que $AG=AB$ et $H$ la projection orthogonale de $G$ sur le segment $[AB]$. On obtient la figure en fichier attaché ci-joint.

On a alors :
\begin{gather*}
AE = AF = \phi ; \hspace{6pt} AH = BE = GF = \frac{1}{\phi} ;\hspace{6pt}HB=\frac{1}{\phi^{2}} ; \hspace{6pt} BF = \sqrt{\phi} ; \hspace{6pt} GH = \frac{1}{\sqrt{\phi}}
\end{gather*}