Aire d'un carré+aire d'un disque
Bonjour, on se place dans $\mathbb R^2$. Soit $F_1=B(0,1)$ le disque unité et $F_2=[0,a]^2$ le carré de coté $a>0$.
Soit $\alpha_1,\alpha_2>0$. Soit la figure $C=\alpha_1F_1+\alpha_2F_2$.
Je voudrais savoir pourquoi l'aire de cette figure dans le sens $\|\chi_C\|_1$ vaut $\|\chi_C\|_1=(\alpha_2a)^2+4\alpha_2a\alpha_1+\pi\alpha_1^2$.
Merci.
Soit $\alpha_1,\alpha_2>0$. Soit la figure $C=\alpha_1F_1+\alpha_2F_2$.
Je voudrais savoir pourquoi l'aire de cette figure dans le sens $\|\chi_C\|_1$ vaut $\|\chi_C\|_1=(\alpha_2a)^2+4\alpha_2a\alpha_1+\pi\alpha_1^2$.
Merci.
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Réponses
Si j'élève C au carré, apparaissent le 1er et le troisième terme de l'aire que tu indiques, à condition de considérer que le carré de F1 est la surface du disque ?
Bref, pourrais-tu préciser à un néophyte de quel espace F1 et F2 sont des éléments. Quant à C, on dirait un "faisceau de surfaces" ?
Cordialement.
Mathisse
Autrement dit avec : $C=F_1+F_2$.
Pour se faire, je considère mon carré $[0;a]^2$ et à chacun de ses points "j'ajoute le cercle" (je trouve qu'il suffit de balayer le bord...) .
Autrement dit, ça revient à tracer tous les cercles de rayon 1 dont les centres sont sur le carré.
La figure obtenue a les coins arrondis... ça semble être l'enveloppe convexe de la figure constituée du carré et des quatre cercles de centre "les coins" et de rayon 1.
Cela donne pour aire : $(a+2)\times a + 2\times a + \pi$.
Il reste à démontrer rigoureusement qu'on a bien cette figure "carré avec coins arrondis".
Remarque : si on calcule cette aire par exhaustion (on part d'un grand carré de côté $a\alpha_2+2\alpha_1$ auquel on retire "des coins anguleux" $4\alpha_1 ^2 - \pi \alpha_1 ^2$),cela donne :
$$(a\alpha_2+2\alpha_1)^2 - (4\alpha_1 ^2 - \pi \alpha_1 ^2)$$
C'est cohérent d'après mes calculs.
Mais c'est par prudence et c'est peut-être du pinaillage.