Aire d'un carré+aire d'un disque

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dans Géométrie
Bonjour, on se place dans $\mathbb R^2$. Soit $F_1=B(0,1)$ le disque unité et $F_2=[0,a]^2$ le carré de coté $a>0$.
Soit $\alpha_1,\alpha_2>0$. Soit la figure $C=\alpha_1F_1+\alpha_2F_2$.
Je voudrais savoir pourquoi l'aire de cette figure dans le sens $\|\chi_C\|_1$ vaut $\|\chi_C\|_1=(\alpha_2a)^2+4\alpha_2a\alpha_1+\pi\alpha_1^2$.
Merci.

Réponses

  • mathisse
    mathisse
    Cela me dépasse sûrement, je suis un peu curieux néanmoins...

    Si j'élève C au carré, apparaissent le 1er et le troisième terme de l'aire que tu indiques, à condition de considérer que le carré de F1 est la surface du disque ?

    Bref, pourrais-tu préciser à un néophyte de quel espace F1 et F2 sont des éléments. Quant à C, on dirait un "faisceau de surfaces" ?
    Cordialement.
    Mathisse
  • Code_Name
    Code_Name
    $F_1$ et $F_2$ sont tous les deux dans $\mathbb R^2$. Je me rends compte que c'était inutile de préciser que je la cherchais au sens de $\|\chi_C\|_1$. Je veux simplement savoir pourquoi l'aire de la figure $C$ est donnée par la formule que j'ai donnée.
  • Dom
    Dom
    Je tente de comprendre avec $a$, $\alpha_1=1$ et $\alpha_2=1$.
    Autrement dit avec : $C=F_1+F_2$.

    Pour se faire, je considère mon carré $[0;a]^2$ et à chacun de ses points "j'ajoute le cercle" (je trouve qu'il suffit de balayer le bord...) .
    Autrement dit, ça revient à tracer tous les cercles de rayon 1 dont les centres sont sur le carré.

    La figure obtenue a les coins arrondis... ça semble être l'enveloppe convexe de la figure constituée du carré et des quatre cercles de centre "les coins" et de rayon 1.

    Cela donne pour aire : $(a+2)\times a + 2\times a + \pi$.114970
  • Dom
    Dom
    En passant avec les paramètres quelconques, ça donne bien cette aire là.
    Il reste à démontrer rigoureusement qu'on a bien cette figure "carré avec coins arrondis".

    Remarque : si on calcule cette aire par exhaustion (on part d'un grand carré de côté $a\alpha_2+2\alpha_1$ auquel on retire "des coins anguleux" $4\alpha_1 ^2 - \pi \alpha_1 ^2$),cela donne :
    $$(a\alpha_2+2\alpha_1)^2 - (4\alpha_1 ^2 - \pi \alpha_1 ^2)$$
    C'est cohérent d'après mes calculs.
  • zephir
    zephir
    @Dom : Il n'y a pas grand chose à démontrer. Si tu veux pinailler, il est facile d'établir la double inclusion avec la définition de la somme de deux parties d'un espace vectoriel.
  • Dom
    Dom
    Ok. C'est en pensant au fait que si la figure (le carré) n'est pas convexe, alors par exemple, "viser les coins", ne suffit pas. Ici, c'est suffisant en visant les coins du carré et en considérant l'enveloppe convexe.

    Mais c'est par prudence et c'est peut-être du pinaillage.
  • Code_Name
    Code_Name
    Ah j'ai compris. On a l'aire du carré de coté $\alpha_2 a$ qui est $(\alpha_2 a)^2$ + l'aire des quatre coins anguleux qui rassemblés ensemble donne le cercle de rayon $\alpha_1$ donc $\pi \alpha_1^2$ + l'aire des quatre petits rectangles entre ces coins anguleux de longueur $\alpha_2 a$ et largeur $\alpha_1$ donc $4\alpha_2 a \alpha_1$.
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