L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Pour étrennes
dans Géométrie
Bonjour,
D'un point d'un côté d'un triangle on mène des parallèles aux deux autres côtés ; ce faisant, on forme deux sous-triangles et un parallélogramme.
Démontrer en moins de cinq lignes que l'aire du parallélogramme est le double de la moyenne géométrique des aires des deux sous-triangles.
Bon réveillon !
D'un point d'un côté d'un triangle on mène des parallèles aux deux autres côtés ; ce faisant, on forme deux sous-triangles et un parallélogramme.
Démontrer en moins de cinq lignes que l'aire du parallélogramme est le double de la moyenne géométrique des aires des deux sous-triangles.
Bon réveillon !
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Réponses
Soit $x$ tel que le point de l'énoncé soit égal à Bar((B,x),(C,1-x)).
Les deux petits triangles ont pour aires $x^2$ et $(1-x)^2$.
L'égalité revient donc à montrer que $1-(x^2+(1-x)^2)=2x(1-x)$. Ceci se vérifie aisément en développant les deux membres.
Il y a un hic ! le problème étant affine, rien n'interdit de choisir en $B$ un angle de $89°$, et ... ça ne marche pas bien.
C'est une évaluation à la louche.
M se projette en B' etA' sur AC et BC, Les vecteurs a,b et c sont BC,AC et AB.
Avec les produits scalaires il vient que le produit des aires des deux triangles est égal à:
1/4*t2(1-t)2( a.c)(b.c)/CosA.cosB et que le ,carré de l'aire du parallélogramme est t2(1-t)2 (a.b)2./cos2C
Cela revient à écrire que le carré de la surface de ABC est égale à elle-même.
Bonnes fêtes.
PS: le Père Noêl m'a apporté un manuel de Latex mais je e sais pas par que le bout le prendre....
l'aire est proportionnelle à la taille du produit vectoriel.
Soit $D$ un point de $BC$, depuis lequel on mène les parallèles $DE$ et $DF$.
On a $BC = BD+DC$.et les trois triangles sont semblables,...
A+
On a
$BD/BC + DC/BC = 1$
$\sqrt {FBD}/\sqrt {ABC} + \sqrt {EDC}/\sqrt {ABC} = 1 $
$\sqrt {FBD} + \sqrt {EDC} = \sqrt {ABC} $
$(\sqrt {FBD} + \sqrt {EDC})^2 = ABC$
$2\sqrt {FBD}\sqrt {EDC} = ABC - FBD - EDC$.
On peut aussi raisonner par analyse, donc enchaîner les lignes précédentes à rebours.
A+
$|AEF|=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$ est la moyenne géométrique de $|BED|=\frac{1}{2}a^2\sin\alpha$ et de $|DFC|=\frac{1}{2}b^2\sin\alpha$.
1. ABC un triangle
2. D le symétrique de A par rapport au milieu de [BC]
3. considérer les sous triangles et la prolongation de leurs côtés ; nous abtenonss quatre parallélogrammes dont deux sont isométriques
4. Appliquer la loi des sinus
and we are done...
Sioncèrement
Jean-Louis
Merci pour ces souvenirs rafraîchissants !
[Le fait de ne pas écrire tes mots en entier te fait faire des fautes d'accord ! AD]
Si l'on coupe le parallélogramme en deux, alors on partage le triangle en quatre sous-triangles dont deux ont la même aire, qui est la moyenne géométrique des aires des deux autres triangles.
On a un phénomène du même genre avec le trapèze :
les diagonales partagent le trapèze en quatre sous-triangles, dont deux sont équivalents, leur aire étant la moyenne géométrique des aires des deux autres triangles.
A+