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La trisectrice peut être médiane

Envoyé par djelloul sebaa 
La trisectrice peut être médiane
30 dcembre 2020, 18:49
Bonjour.
Dans un triangle isocèle ou équilatéral la bissectrice peut-être médiane (au minimum).
Par analogie :
Dans un triangle une TRISECTRICE peut-être MÉDIANE
Que pensez-vous.
Cordialement.
Djelloul Sebaa.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 31/12/2020 11:48 par AD.
Re: la trisectrice peut-être médiane
30 dcembre 2020, 20:09
Mon cher Djelloul, tous mes meilleurs Vœux pour la nouvelle année.
Sur la figure ci-dessous, j'ai tracé le lieu des points $A$ tels que la médiane $AA'$ soit aussi trisectrice.
Voici quelques questions:
Former l'équation de ce lieu?
Quel est l'inverse de ce lieu dans une inversion de pôle $A'$?
Bonnes Fêtes à tous
pappus



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/12/2020 20:26 par pappus.


Re: la trisectrice peut-être médiane
30 dcembre 2020, 20:57
Mon cher Djelloul
Voici la figure que j'ai en tête!
Les points $A$ et $\alpha$ sont inverses par rapport au cercle de diamètre $BC$ que j'ai tracé en pointillé.
Le lieu de $\alpha$ est l'hyperbole bleue de centre $O$, de sommet $C$ et d'excentricité $2$.
Le point $O$ s'obtient en trisectant le segment $A'C$.
Les asymptotes s'obtiennent en trisectant l'angle $\widehat{BOC}$
La médiane $AA'$ trisecte l'angle $\widehat{BAC}$.
Bref dans cette figure, ça ne rigole pas: on trisecte sur tout ce qui bouge!!!!!
Bonnes Fêtes à tous!
pappus


Re: La trisectrice peut-être médiane
30 dcembre 2020, 21:41
Mon cher Pappus,
J'en reste bouche bée d'admiration !
Ce lieu fait-il partie de la famille des lemniscates ?
Bien amicalement
JLB
Re: La trisectrice peut-être médiane
31 dcembre 2020, 10:11
Mon cher Jelobreuil
Passe un joyeux réveillon.
C’est Soland le spécialiste, il faudrait le lui demander.
Mais le plus important est de donner une preuve de cette configuration dont je n’avais pas la moindre idée avant que Djelloul Sebaa ne pose sa question.
Bonnes Fêtes à tous
pappus
PS
Comment ai-je fait pour tracer ma première figure ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 31/12/2020 10:21 par pappus.
La trisectrice peut être médiane
31 dcembre 2020, 10:24
avatar
La trisectrice peut être médiane
[www.projet-voltaire.fr]
Dom
Re: La trisectrice peut être médiane
31 dcembre 2020, 10:27
Ou alors :
« La trisectrice, peut-être médiane ? »

Plus court :
« La trisectrice... médiane ? »
Re: La trisectrice peut être médiane
31 dcembre 2020, 10:37
avatar
Ou « La trisectrice est peut-être médiane ». Mais le mieux c'est « la trisectrice peut être médiane » comme on dirait « La trisectrice peut passer par le centre de gravité ». L'important c'est de distinguer « peut être » et « peut-être ».
Je peux être père, tu peux être père, il peut être père : le trait d'union n'a rien à faire ici.
Re: La trisectrice peut être médiane
31 dcembre 2020, 10:39
avatar
@jelobreuil
Qu'est-ce que la famille des lemniscates ? Moi je ne connais qu'une lemniscate, celle de Bernoulli. Y en a-t-il d'autres ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/12/2020 16:04 par Chaurien.
Re: La trisectrice peut être médiane
31 dcembre 2020, 12:38
Bonjour à tous
Je vois surtout que l'orthographe est plus intéressante que la défunte géométrie.
On fait ce qu'on peut et l'on peut peu!
C'est dans la logique de notre enseignement aussi lamentable en français qu'en mathématiques mais l'orthographe nous est-elle plus accessible que la géométrie? J'en doute fortement!
Il n'y aura donc jamais personne avec qui je puisse réellement dialoguer, personne pour s'intéresser aux questions simples que je pose?
La figure ci-dessous montre comment je m'y suis pris pour tracer ce lieu tout aussi nouveau pour moi que pour vous!
Je me suis basé sur le théorème de l'angle inscrit.
Est-il encore enseigné à cette époque où la géométrie euclidienne se limite à ânonner l'axiome de Pythagore?
Bonne Fêtes à tous
pappus


Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 09:33
Bonne Année 2021 à tous
J'explique ma construction sur cette nouvelle figure
Je me donne arbitrairement le point $M$ sur la médiatrice de $A'C.\qquad$
Le cercle de centre $M$ passant par $A'$ et $C$ est le lieu des points d'où on voit le segment $A'C$ sous l'angle orienté $\theta.\qquad$.
D'après le défunt théorème de l'angle au centre, le cercle $(A'MC)\ $ est le cercle lieu des points d'où on voit le segment $A'C\ $ sous l'angle orienté $2\theta.\qquad$.
Je n'ai plus qu'à translater ce cercle en $(BM'A')\ $ pour obtenir le cercle lieu des points d'où on voit le segment $BA'\ $ sous l'angle orienté $2\theta.\qquad$
D'où ma construction.
Mon logiciel donne alors le lieu du point $P.\qquad$
J'ai découvert comme vous la courbe rouge mais je n'ai pas été étonné très longtemps.
Maintenant en travaillant dans un repère orthonormé où le point $B\ $ a pour coordonnées $(b,0)$ et le point $C\ $ pour coordonnées $(-b,0)$, il n'est pas très difficile (???) de former l'équation du lieu.
Amicalement
pappus



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/01/2021 11:53 par pappus.


Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 11:54
Bonjour à tous,
Chaurien, j'ai pensé, sans doute abusivement, que toutes les "courbes en 8" pouvaient être appelées "lemniscates" ...
Pappus, je vais essayer de faire ce que tu demandes ...
Bonne année
JLB
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 12:16
Mon cher Jelobreuil
Moi aussi je croyais que le nom réservé au courbes en 8 était Lemniscate.
Mais en fin de compte, peu importe le nom de ce lieu.
Ce qui compte, c'est de comprendre et de résoudre ce beau problème de Djelloul Sebaa et je constate avec tristesse que je suis le seul à m'y être attaqué sérieusement quand d'autres se limitent à des questions de syntaxe ou d'orthographe.
Ce n'est pourtant pas dur, seulement des arc capables à manipuler.
Mais il faut croire que c'est encore trop dans une république satisfaite d'ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore en guise de géométrie!
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 14:40
Bonjour et bonne année à tous !

Une petite remarque concernant la dernière figure postée par pappus : quand je l'ai construite avec GeoGebra je n'en ai d'abord obtenu qu'une moitié. Cela est dû au fait que lorsque cercles se coupent en deux points le logiciel les différencie en les numérotant (1 et 2).
Je ne sais pas comment vous vous y êtes pris pappus mais j'ai pu obtenir la courbe complète en définissant le point $P$ comme étant le symétrique de $A'$ par rapport à la droite $(MT)$, où $T$ est le centre du cercle translaté.
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 14:55
Mon cher Ludwig
Suppose que j'ai un cercle $\Gamma$, un point $A\in \Gamma$ et une droite $L$ passant par $A$.
Je veux construire la seconde intersection (autre que $A$) de $L$ avec $\Gamma$ en sorte que le logiciel fasse bien la différence entre les deux points d'intersection.
Pour cela, je projette orthogonalement le centre de $\Gamma$ en $P$ sur la droite $L$ puis je prend le symétrique $Q$ de $A$ par rapport à $P$.
Idem pour récupérer le second point d'intersection de deux cercles ayant déjà un point commun $A$.
Je prend le symétrique de $A$ par rapport à la ligne des centres.
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 15:18
avatar
Bonjour, voilà une façon si on veut.

Dans la figure j'ai pris le repère au centre $C$, l'axe des abscisses est porté par la médiane, on veut le lieu de $B$.

Les deux triangles ont le même aire donc $a.CB.\sin(\theta)=a.CB'.\sin(2\theta)$ puis $$CB'=\dfrac{CB}{2\cos(\theta)}$$
Deux Pythagore généralisés (expression de $MB^2=MB'^2$), $x=\theta$ donnent
$$
r=CB=\dfrac{8a\cos^3(x)-4a\cos(2x)\cos(x)}{4\cos^2(x)-1}.
$$



En fait il faut encadrer les valeurs $x$ acceptables $r>0$ ce qui est le cas pour $ [-\pi/3;\pi/3]$...

Edit il y avait erreur de plot c'est le lieu de $B$ avec $(r\cos(x);r\sin(x))$ et $-\pi/3\le x\le \pi/3$


[Pythagore (~ 500 avJC) comme tout nom propre, ne s'accorde jamais en nombre ! AD]



Modifié 7 fois. Dernière modification le 02/01/2021 15:51 par Tonm.


Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 15:20
Merci pappus, c'est toujours mieux avec des explications smiling smiley

Une équation de la courbe qui passe par $C(1,0)$
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 17:03
Bonne Année à tous
Je reste rêveur devant les monstrueux calculs de Tonm.
Qu'a-t-il bien voulu faire ?
Il n'y a que lui qui le sait et encore ce n'est pas sûr !
J'ai compris !
Comme d'habituuude, il va falloir que je m'y colle une fois encore pour la énième plus une fois!
Dans le repère que j'ai choisi le point $M$ a des coordonnées de la forme $(-\dfrac c2,\lambda)\qquad$
L'équation du cercle de centre $M$ passant par $A'$ et $C$ est donc de la forme:
$$x^2+y^2+bx-2\lambda y=0.
$$ L'équation du cercle $(BM'A')$ est de la forme :
$$x^2+y^2-bx+\mu y=0.
$$On écrit que ce cercle passe par le point $M'(\dfrac b2,\lambda)$:
$$\lambda^2-\dfrac{b^2}4+\lambda\mu=0.
$$ On élimine $\lambda$ et $\mu$ entre ces trois équations :
$$\dfrac{(x^2+y^2+bx)^2}{4y^2}-\dfrac{b^2}4-\dfrac{x^2+y^2-bx}y.\dfrac{x^2+y^2+bx}{2y}=0.
$$ Donc on a :
$$(x^2+y^2+bx)^2-b^2y^2-2\big((x^2+y^2)^2-b^2x^2\big)=0.
$$ Finalement on trouve :
$$(x^2+y^2)^2-2bx(x^2+y^2)-3b^2x^2+b^2y^2=0.
$$ Bof, ce n'était que cela, une simple quartique bicirculaire.
Il ne reste plus qu'à la transformer par l'inversion par rapport au cercle de diamètre $BC$.
Encore un des douze travaux d'Hercule ?
Amicalement
pappus



Modifié 2 fois. Dernière modification le 01/01/2021 17:17 par pappus.
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 18:17
Cher Pappus,
J'avais effectivement écrit des équations semblables aux tiennes avec un paramètre m (l'ordonnée du point M), mais je n'ai pas eu l'idée, pour l'éliminer, de l'exprimer en fonction de x et de y ! Comme quoi mes circuits internes sont bien encrassés !!!
Merci pour l'indication !
Bien amicalement
JLB
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 19:07
Bonjour à tous
Je poursuis, ce seront mes étrennes!
L'écriture de l'inversion par rapport au cercle de diamètre $BC$ est la suivante:
$$\varphi:(x,y)\mapsto \big(\dfrac{b^2x}{x^2+y^2},\dfrac{b^2y}{x^2+y^2}\big)\qquad$$
Comme il semblerait que $\varphi$ est involutive, il suffit d'injecter ces formules dans l'équation polynomiale de la quartique pour obtenir l'équation de sa transformée et on trouve après quelques simplifications miraculeuses:
$$3x^2-y^2+2bx-b^2=0\qquad$$
Alors là on se sent repousser des ailes!!
Enfin, enfin, on est en terrain (soi-disant) connu.
On va pouvoir utiliser la DCEDC (DIVINE CLASSIFICATION EUCLIDIENNE DES CONIQUES) pour identifier cette CEPEI (CONIQUE EUCLIDIENNE PAS ENCORE IDENTIFIÉE).
Quelle extase!!!
Bonne Année à tous!
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 20:10
Cher Pappus,
J'ai poursuivi mes calculs après que tu m'eus désembourbé, et j'ai eu le petit plaisir d'aboutir à la même équation que toi, exactement, dans l'avant-dernière formulation que tu en as donnée ...
Quant à ta dernière question, je réponds qu'il s'agit d'une hyperbole, à cause des signes différents des monômes carrés, et puisque cette équation peut s'écrire
4x2 - y2 = (x - b)2 = (2x - y) (2x + y)
je dirais que l'axe non focal est la droite d'équation x = b et que les asymptotes sont les droites d'équation y = 2x et y = -2x (en implorant ta bienveillante indulgence si je me trompe !).
Bien amicalement
JLB

Edit : je certifie que je n'ai pas regardé ta deuxième figure dans ce fil avant de te répondre, mais je crois bien avoir tout juste !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/01/2021 20:17 par jelobreuil.
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 20:24
Mon cher Jelobreuil
J'ai trouvé pour termes du second degré: $3x^2-y^2.\qquad$
Ce ne sont pas les mêmes que les tiens.
Donc l'un de nous deux à tort!
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 20:33
4x² - y² = (x - b)²
Ça fait bien 3x²-y² ..

Cordialement.
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 20:44
Mon cher Pappus,
Tu m'as lu un tantinet trop vite ... ce n'est pas grave !!
Bien amicalement
JLB
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 20:46
Mon cher Gerard
Regarde attentivement ce qu'il a écrit ensuite!
Les asymptotes sont les droites d'équations: $y=\pm 2x$.
Jelobreuil n'a pas encore compris ce concept de termes de degré $2$.
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 20:59
Vous êtes tous deux passé à côté winking smiley
Ou tu t'exprimes d'une façon trop cryptique.
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 22:08
Bonne Année à tous
J'ai enfin compris ce que voulait Tonm et j'ai eu un certain mérite à le faire quand vous lisez son introduction et sa figure à laquelle je vous demande de vous reporter
Non seulement il a pris des notations différentes des miennes mais il s'est posé une question différente, intéressante d'ailleurs, mais qu'il n'a pas résolue.
D'une part je n'ai pas compris ses calculs et d'autre part ce qu'il trouve est confus sinon aberrant.
Je garde mes notations.
Tonm s'est posé la question suivante pas bête du tout.
Chercher les triangles $ABC$ dont la médiane $AA'$ est donnée et pour lesquels:
$$\widehat{BAA'}=2\widehat{A'AC}.\qquad$$
Je n'ai fait aucun calcul mais j'ai laissé faire mon logiciel.
Et voici ce que j'ai trouvé ci-dessous.
Je n'ai tracé que le lieu de $C$, celui de $B$ s'en déduisant par symétrie par rapport à $A'$.
Cela n'a évidemment rien à voir avec ce que nous a raconté Tonm mais par contre il y a des ressemblances avec le problème initial en ce qui concerne le résultat trouvé.
On se doute que les calculs analytiques à mener pour prouver cette configuration doivent être particulièrement simples et qu'ils n'ont rien à voir avec ceux de Tonm.
Amicalement
pappus
Djelloul va encore être content:
On trisecte le segment $AA'$ pour récupérer le centre $O$ et on trisecte l'angle plat $\widehat{AOA'}$ pour récupérer les asymptotes


Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 22:19
Mon cher Gerard0
Je suis passé à côté de quoi?
Jelobreuil a bien calculé l'équation de l'hyperbole mais il s'est trompé dans l'équation des asymptotes.
Que voulais-tu que je dise de plus?
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 22:43
avatar
Bonjour, il y a une chose pappus bonne année d'abord. Moi j'ai fixé la medianne au centre $C$ (chez toi $A$) et comme vous voyez j'ai trouvé que $B$ se déplace sur un cercle ? Alors c'est explicable je crois ?
Désolé pour la mal exposition mais j'ai donné les gros points (ce n'est pas compliqué) ça répond au problème c'est une reformulation

Cordialement.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/01/2021 22:48 par AD.
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 22:52
Mon cher Tonm
Encore une fois, tous mes voeux pour 2021 et il vaut mieux en avoir plus que moins.
Je vois que tu as beaucoup de difficultés à t'exprimer en français mais si tu penses pouvoir mieux le faire en anglais, n'hésite pas à t'exprimer en anglais en plus de le faire en français évidemment!
On ne trouve absolument pas la même chose!
Toi un cercle et moi une hyperbole.
Un de nous deux a tort!
One of us is wrong!
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 23:03
avatar
Oui merci, si $AA'=a$ $\widehat{A'AC}=\theta$ je trouve que $$AC=a\frac{8\cos^3(\theta)-4\cos(2 \theta)\cos(\theta)}{4\cos^2(\theta)-1}$$
Puis je plot ($AC\cos(\theta),AC\sin(\theta)$) pour $0\le \theta\le \pi/3$, $a=1$ ça m'a donné la figue d'un arc d'un cercle?

Évidemment il y avait une erreur de signe



Modifié 3 fois. Dernière modification le 01/01/2021 23:13 par Tonm.


Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 23:21
Cher Pappus,
Comme tu le dis à Gérard, je n'ai pas "compris le concept des termes de degré 2", et je dirais même plus, j'en ignore tout !
Ceci dit, il est vrai que mon affirmation sur les asymptotes était "au doigt mouillé", au sens où j'aurais été bien en peine de la justifier, si elle avait été vraie ! Et je ne suis pas surpris qu'elle soit fausse !
Mais l'est-elle totalement ? Si je me reporte à ta deuxième figure, je vois le lieu de alpha, l'hyperbole en question, et ses asymptotes ont l'air d'avoir des pentes de +2 et -2 ... Où se situe donc mon erreur ?
Merci de ta patience à mon égard !
Bien amicalement
JLB
Re: La trisectrice peut être médiane
01 janvier 2021, 23:36
Mon cher Jelobreuil
L'équation des asymptotes en translatant l'origine du repère au centre de la conique est:
$3x^2-y^2=0$
Les asymptotes sont donc les droites d'équations: $y=\pm\sqrt3x$.
Et il est vrai que $\sqrt 3=1.732..$ est dans un voisinage ouvert de $2$.
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves.
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
02 janvier 2021, 09:32
Pappus, je te cite :

"J'ai trouvé pour termes du second degré: $3x^2-y^2$.
Ce ne sont pas les mêmes que les tiens. "

L'équation de Jelobreuil est : 4x² - y² = (x - b)²
Les termes de second degré sont 4x²-x² = 3x² et -y².

Tu as tellement en tête des formulations types (les tiennes, et celles qu'on utilise dans les techniques de traitement des équations des coniques) que tu es incapable de lire ce que tu écris. Et de dire clairement que le calcul de Jelobreuil n'est pas utile. Ce que tu dis est qu'il a fait une erreur de calcul ...

L'avantage que j'ai est que je connais ces techniques, mais que je lis ce qui est écrit ; exactement. Par contre, même si je regarde souvent vos discussions géométriques, je ne m'y accroche pas, ça me demanderait trop de temps.

Continuez à bien discuter ...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 02/01/2021 13:54 par AD.
Re: La trisectrice peut être médiane
02 janvier 2021, 09:47
Merci Gerard0
Bon je me suis lamentablement trompé , je suis un incapable et j'ai eu tort de relever l'erreur de Jelobreuil.
Merci de souligner mon incapacité!!
Meilleurs Vœux
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
02 janvier 2021, 09:56
Pourquoi prends-tu la mouche ?
Tu fais la même chose que moi avec différents intervenants, tu corriges ce qu'ils ont écrit (pas nécessairement pensé), et réinterviens quand ils ne comprennent pas que c'était la lettre de ce qu'ils ont écrit qui était fausse. Charité bien ordonnée commence par soi-même : accepte qu'on joue au même jeu à ton propos.
Finalement, tu es surtout fâché parce que tu n'as pas compris ma première intervention. Ça arrive, même à toi.

Cordialement. Et bonne année très géométrique !
Re: La trisectrice peut être médiane
02 janvier 2021, 10:16
Mon cher Gerard
Je suis très très heureux de t'avoir apporté une aussi grande satisfaction en ce début d'année qui ne va pas nous en donner beaucoup!
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
02 janvier 2021, 10:51
Merci Tonm
Ta figure me semble plus correcte.
Amicalement
pappus
Re: La trisectrice peut être médiane
02 janvier 2021, 13:14
avatar
J'ai donné l'impression que je n'intervenais que sur des futilités, mais si je n'ai pas plus contribué, c'est que j'ai quelques difficultés avec ce problème. Mettant à profit la remarque de Tonm sur l'égalité des aires des triangles $MOB$ et $MOC$, il vient : $2 MB\cos \theta =MC$, et la loi des cosinus dans le triangle $MOC$ me conduit à quelque chose comme : $\frac {MO}{MB}= \frac {MO^2+MC^2-OC^2}{MC^2}$. Mais en continuant le calcul avec les coordonnées, je n'arrive pas à faire apparaître une équation de quartique.
Bonne journée.
Fr. Ch


Re: La trisectrice peut être médiane
02 janvier 2021, 13:42
Bonjour à tous
Le point de vue de Tonm du problème de Djelloul Sebaa me semble être plus simple que le mien car il mène directement à l'hyperbole sans passer par la quartique. Il aurait pu être proposé au bachelier que j'ai été!
Ceci dit les difficultés de Chaurien me semblent être une conséquence normale de notre système d'enseignement qui a banni la géométrie en général et donc la géométrie analytique en particulier.
Je lui conseille de se lancer dans la lecture du JDE!
Amicalement
pappus
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