La trisectrice peut être médiane

Mon cher Djelloul
Voici la figure que j'ai en tête!
Les points $A$ et $\alpha$ sont inverses par rapport au cercle de diamètre $BC$ que j'ai tracé en pointillé.
Le lieu de $\alpha$ est l'hyperbole bleue de centre $O$, de sommet $C$ et d'excentricité $2$.
Le point $O$ s'obtient en trisectant le segment $A'C$.
Les asymptotes s'obtiennent en trisectant l'angle $\widehat{BOC}$
La médiane $AA'$ trisecte l'angle $\widehat{BAC}$.
Bref dans cette figure, ça ne rigole pas: on trisecte sur tout ce qui bouge!!!!!
Bonnes Fêtes à tous!
[small]p[/small]appus

Mon cher Jelobreuil
Passe un joyeux réveillon.
C’est Soland le spécialiste, il faudrait le lui demander.
Mais le plus important est de donner une preuve de cette configuration dont je n’avais pas la moindre idée avant que Djelloul Sebaa ne pose sa question.
Bonnes Fêtes à tous
[small]p[/small]appus
PS
Comment ai-je fait pour tracer ma première figure ?

Ou alors :
« La trisectrice, peut-être médiane ? »

Plus court :
« La trisectrice... médiane ? »

@jelobreuil
Qu'est-ce que la famille des lemniscates ? Moi je ne connais qu'une lemniscate, celle de Bernoulli. Y en a-t-il d'autres ?

Bonne Année 2021 à tous
J'explique ma construction sur cette nouvelle figure
Je me donne arbitrairement le point $M$ sur la médiatrice de $A'C.\qquad$
Le cercle de centre $M$ passant par $A'$ et $C$ est le lieu des points d'où on voit le segment $A'C$ sous l'angle orienté $\theta.\qquad$.
D'après le défunt théorème de l'angle au centre, le cercle $(A'MC)\ $ est le cercle lieu des points d'où on voit le segment $A'C\ $ sous l'angle orienté $2\theta.\qquad$.
Je n'ai plus qu'à translater ce cercle en $(BM'A')\ $ pour obtenir le cercle lieu des points d'où on voit le segment $BA'\ $ sous l'angle orienté $2\theta.\qquad$
D'où ma construction.
Mon logiciel donne alors le lieu du point $P.\qquad$
J'ai découvert comme vous la courbe rouge mais je n'ai pas été étonné très longtemps.
Maintenant en travaillant dans un repère orthonormé où le point $B\ $ a pour coordonnées $(b,0)$ et le point $C\ $ pour coordonnées $(-b,0)$, il n'est pas très difficile (???) de former l'équation du lieu.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Jelobreuil
Moi aussi je croyais que le nom réservé au courbes en 8 était Lemniscate.
Mais en fin de compte, peu importe le nom de ce lieu.
Ce qui compte, c'est de comprendre et de résoudre ce beau problème de Djelloul Sebaa et je constate avec tristesse que je suis le seul à m'y être attaqué sérieusement quand d'autres se limitent à des questions de syntaxe ou d'orthographe.
Ce n'est pourtant pas dur, seulement des arc capables à manipuler.
Mais il faut croire que c'est encore trop dans une république satisfaite d'ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore en guise de géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
Suppose que j'ai un cercle $\Gamma$, un point $A\in \Gamma$ et une droite $L$ passant par $A$.
Je veux construire la seconde intersection (autre que $A$) de $L$ avec $\Gamma$ en sorte que le logiciel fasse bien la différence entre les deux points d'intersection.
Pour cela, je projette orthogonalement le centre de $\Gamma$ en $P$ sur la droite $L$ puis je prend le symétrique $Q$ de $A$ par rapport à $P$.
Idem pour récupérer le second point d'intersection de deux cercles ayant déjà un point commun $A$.
Je prend le symétrique de $A$ par rapport à la ligne des centres.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci pappus, c'est toujours mieux avec des explications :-)

Une équation de la courbe qui passe par $C(1,0)$

Cher Pappus,
J'avais effectivement écrit des équations semblables aux tiennes avec un paramètre m (l'ordonnée du point M), mais je n'ai pas eu l'idée, pour l'éliminer, de l'exprimer en fonction de x et de y ! Comme quoi mes circuits internes sont bien encrassés !!!
Merci pour l'indication !
Bien amicalement
JLB

Cher Pappus,
J'ai poursuivi mes calculs après que tu m'eus désembourbé, et j'ai eu le petit plaisir d'aboutir à la même équation que toi, exactement, dans l'avant-dernière formulation que tu en as donnée ...
Quant à ta dernière question, je réponds qu'il s'agit d'une hyperbole, à cause des signes différents des monômes carrés, et puisque cette équation peut s'écrire
4x² - y² = (x - b)² = (2x - y) (2x + y)
je dirais que l'axe non focal est la droite d'équation x = b et que les asymptotes sont les droites d'équation y = 2x et y = -2x (en implorant ta bienveillante indulgence si je me trompe !).
Bien amicalement
JLB

Edit : je certifie que je n'ai pas regardé ta deuxième figure dans ce fil avant de te répondre, mais je crois bien avoir tout juste !

4x² - y² = (x - b)²
Ça fait bien 3x²-y² ..

Cordialement.

Mon cher Gerard
Regarde attentivement ce qu'il a écrit ensuite!
Les asymptotes sont les droites d'équations: $y=\pm 2x$.
Jelobreuil n'a pas encore compris ce concept de termes de degré $2$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonne Année à tous
J'ai enfin compris ce que voulait Tonm et j'ai eu un certain mérite à le faire quand vous lisez son introduction et sa figure à laquelle je vous demande de vous reporter
Non seulement il a pris des notations différentes des miennes mais il s'est posé une question différente, intéressante d'ailleurs, mais qu'il n'a pas résolue.
D'une part je n'ai pas compris ses calculs et d'autre part ce qu'il trouve est confus sinon aberrant.
Je garde mes notations.
Tonm s'est posé la question suivante pas bête du tout.
Chercher les triangles $ABC$ dont la médiane $AA'$ est donnée et pour lesquels:
$$\widehat{BAA'}=2\widehat{A'AC}.\qquad$$
Je n'ai fait aucun calcul mais j'ai laissé faire mon logiciel.
Et voici ce que j'ai trouvé ci-dessous.
Je n'ai tracé que le lieu de $C$, celui de $B$ s'en déduisant par symétrie par rapport à $A'$.
Cela n'a évidemment rien à voir avec ce que nous a raconté Tonm mais par contre il y a des ressemblances avec le problème initial en ce qui concerne le résultat trouvé.
On se doute que les calculs analytiques à mener pour prouver cette configuration doivent être particulièrement simples et qu'ils n'ont rien à voir avec ceux de Tonm.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Djelloul va encore être content:
On trisecte le segment $AA'$ pour récupérer le centre $O$ et on trisecte l'angle plat $\widehat{AOA'}$ pour récupérer les asymptotes

Bonjour, il y a une chose pappus bonne année d'abord. Moi j'ai fixé la medianne au centre $C$ (chez toi $A$) et comme vous voyez j'ai trouvé que $B$ se déplace sur un cercle ? Alors c'est explicable je crois ?
Désolé pour la mal exposition mais j'ai donné les gros points (ce n'est pas compliqué) ça répond au problème c'est une reformulation

Cordialement.

Oui merci, si $AA'=a$ $\widehat{A'AC}=\theta$ je trouve que $$AC=a\frac{8\cos^3(\theta)-4\cos(2 \theta)\cos(\theta)}{4\cos^2(\theta)-1}$$
Puis je plot ($AC\cos(\theta),AC\sin(\theta)$) pour $0\le \theta\le \pi/3$, $a=1$ ça m'a donné la figue d'un arc d'un cercle?

Évidemment il y avait une erreur de signe

Mon cher Jelobreuil
L'équation des asymptotes en translatant l'origine du repère au centre de la conique est:
$3x^2-y^2=0$
Les asymptotes sont donc les droites d'équations: $y=\pm\sqrt3x$.
Et il est vrai que $\sqrt 3=1.732..$ est dans un voisinage ouvert de $2$.
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves.
[small]p[/small]appus

Merci Gerard0
Bon je me suis lamentablement trompé , je suis un incapable et j'ai eu tort de relever l'erreur de Jelobreuil.
Merci de souligner mon incapacité!!
Meilleurs Vœux
[small]p[/small]appus

Mon cher Gerard
Je suis très très heureux de t'avoir apporté une aussi grande satisfaction en ce début d'année qui ne va pas nous en donner beaucoup!
Amicalement
[small]p[/small]appus

J'ai donné l'impression que je n'intervenais que sur des futilités, mais si je n'ai pas plus contribué, c'est que j'ai quelques difficultés avec ce problème. Mettant à profit la remarque de Tonm sur l'égalité des aires des triangles $MOB$ et $MOC$, il vient : $2 MB\cos \theta =MC$, et la loi des cosinus dans le triangle $MOC$ me conduit à quelque chose comme : $\frac {MO}{MB}= \frac {MO^2+MC^2-OC^2}{MC^2}$. Mais en continuant le calcul avec les coordonnées, je n'arrive pas à faire apparaître une équation de quartique.
Bonne journée.
Fr. Ch

Bonjour pour la dernière figure j'ai pris comme repère l'axe des abscisses celui portant la médiane. Puis
$$MO^2+MB^2-2MO.MB\cos(2\theta)=MO^2+MC^2-2MO.MC\cos(\theta)$$
et on exprime $MC$ comme $r$ dans mes posts précédents.

Mon cher Chaurien
Pardonne mes propos et surtout ne te fâche pas, ce serait une perte de temps.
Nous sommes tous les deux d'accord pour déplorer la situation lamentable de notre enseignement dont la dégradation continue de façon inéluctable.
Je suis beaucoup plus vieux que toi et j'ai eu la chance d'apprendre la géométrie à une époque où elle était correctement enseignée.
Tes difficultés en géométrie proviennent peut être de là?
J'ai déjà exposé en long en large et en travers la façon d'obtenir l'équation de la quartique.
Passons maintenant au problème de Tonm
Quand j'ai essayé de comprendre ce qu'il faisait, je ne me suis jamais intéressé à ses calculs au demeurant assez obscurs.
J'ai d'abord essayé de faire sa figure et de tracer le lieu des points $B$ et $C$.
En proposant ma figure, j'avais naturellement effacé la façon dont je l'avais obtenue!
Je rétablis ma construction initiale
Je paramètre la droite $\Delta=AC$ par le point $m$ décrivant le cercle de diamètre $AA'$.
Puis je construis la droite $\Delta'=AB\qquad$
Cela n'est pas trop difficile
Alors $C=L\cap \Delta\qquad$ où $L\ $ est la droite symétrique de $\Delta'$ par rapport au point $A'\qquad$
Enfin je demande à mon logiciel de tracer le lieu de $C$ quand $m$ décrit son cercle pour obtenir la figure que tu as sous les yeux.
Les calculs suivent pas à pas cette construction :
Equation de $\Delta:\qquad$
$$(1)\qquad y=x\tan(\theta).
$$ Equation de $\Delta':\qquad$
$$(2)\qquad y=-x\tan(2\theta).
$$ Symétrie par rapport au point $A':\qquad$
$$(x,y)\mapsto (2a-x,-y).
$$ Equation de $L:\qquad$
$$(3)\qquad -y=-(2a-x)\tan(2\theta).
$$ Identité trigonométrique:
$$(4)\qquad \tan(2\theta)=\dfrac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}.
$$ On reporte dans $(4)$ l'expression de $\tan(\theta)$ donnée dans $(1)$ et l'expression de $\tan(2\theta)$ donnée dans $(3)$
On trouve pour l'équation du lieu de $C:\qquad$
$$3x^2-y^2-4ax=0.
$$ On voit que les calculs suivent la construction de façon implacable.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir,

Avec $B(-1)$ et $C(1)$, un peu de Pythagore généralisé et une formule de duplication, je trouve pour équation de la quartique:
$z^2\overline{z}^2 + (z^2\overline{z}+z\overline{z}^2) - (z^2+z\overline{z}+\overline{z}^2) = 0$

Cordialement,

Rescassol

Merci Ludwig pour tes compliments que je ne mérite guère.
Je ne suis certainement pas un spécialiste des coniques, (voir Poulbot ou pldx1) et il m'arrive aussi souvent qu'un autre de sécher lamentablement ou de sortir des âneries monumentales.
Meilleurs Vœux pour toi et tous les tiens
[small]p[/small]appus

Bonjour,

L'inversion $F(z)=o+\dfrac{k}{\overline{z}-\overline{o}}$ de centre $O\left(o=\dfrac{3}{2}\right)$ et de puissance $k=\dfrac{9}{4}$ laisse l'équation complexe de la quartique globalement invariante.
Le point $A'(0)$ est invariant. Le deux boucles de la courbe s'échangent.

Cordialement,

Rescassol

Merci à tous les deux
Rescassol a raison mais il ne nous a pas dit comment il a Rescassolisé.
Ludwig le valeureux devra revoir sa copie.
J'aurais préféré lire un raisonnement conduisant à ce résultat!
Amicalement
[small]p[/small]appus