Rayon d'un cercle

Bonsoir pappus

Que représente $(u:v:w)$ dans cette formule ? les puissances des sommets par rapport au cercle ?

Amicalement

Bonjour pappus,

Je vous propose de tester la formule sur les cercles classiques de la géométrie du triangle.

Question n°0 : Déterminer le rayon du cercle circonscrit au triangle de référence.

Pour le cercle circonscrit au triangle de référence $ABC,$ puisque les trois sommets du triangle $ABC$ sont sur le cercle, on a $u=v=w=0$ et ainsi à l'aide de la formule, on obtient $16S^2\rho^2=a^2b^2c^2.$

Donc le rayon $\rho$ du cercle circonscrit au triangle de référence $ABC$ vérifie $\rho^2 = \dfrac{a^2b^2c^2}{16S^2}.$

Question n°1 : Déterminer le rayon du cercle de Pierre-René-Jean-Baptiste-Henri Brocard.


Amicalement

Merci pappus,

Le cercle de Pierre-René-Jean-Baptiste-Henri Brocard aussi appelé cercle des sept points a pour centre le point $X_{182} \simeq \left[\begin{array}{c} -a^2 (a^4 - a^2 b^2 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ b^2 (a^2 b^2 + b^4 + 2 a^2 c^2 + b^2 c^2)\\ -c^2 (-2 a^2 b^2 - a^2 c^2 - b^2 c^2 + c^4)\end{array}\right]$ milieu du segment $[OK].$

$X_{182}$ est encore appelé milieu de Brocard.

Déterminons le rayon $\rho_{B}$ à l'aide de la formule.

Nous avons $u=\dfrac{b^2c^2}{a^2 + b^2 + c^2}, \quad v=\dfrac{c^2a^2}{a^2 + b^2 + c^2}, \quad w=\dfrac{a^2b^2}{a^2 + b^2 + c^2}.$

On a :

$16S^2\rho_{B}^2=a^2(\dfrac{b^2c^2}{a^2 + b^2 + c^2})^2+b^2(\dfrac{c^2a^2}{a^2 + b^2 + c^2})^2+c^2(\dfrac{a^2b^2}{a^2 + b^2 + c^2})^2$
$+(a^2-b^2-c^2)(\dfrac{c^2a^2}{a^2 + b^2 + c^2})(\dfrac{a^2b^2}{a^2 + b^2 + c^2})+(b^2-c^2-a^2)(\dfrac{a^2b^2}{a^2 + b^2 + c^2})(\dfrac{b^2c^2}{a^2 + b^2 + c^2})$
$+(c^2-a^2-b^2)(\dfrac{b^2c^2}{a^2 + b^2 + c^2})(\dfrac{c^2a^2}{a^2 + b^2 + c^2})\\+a^2(a^2-b^2-c^2)(\dfrac{b^2c^2}{a^2 + b^2 + c^2})+b^2(b^2-c^2-a^2)(\dfrac{c^2a^2}{a^2 + b^2 + c^2})+c^2(c^2-a^2-b^2)(\dfrac{a^2b^2}{a^2 + b^2 + c^2})+a^2b^2c^2$

soit

$\rho_{B}^2=\dfrac{a^2 b^2 c^2 (a^4 + b^4+ c^4 - a^2 b^2 - a^2 c^2 - b^2 c^2 ) }{16S^2(a^2 + b^2 + c^2)^2 }.$

Or d'après la question n°0, on a $\rho^2=\dfrac{a^2b^2c^2}{16S^2 }.$ où $\rho$ est le rayon du cercle circonscrit au triangle de référence $ABC.$ On en tire :

$\rho_{B}^2=\rho^2\dfrac{a^4 + b^4+ c^4 - a^2 b^2 - a^2 c^2 - b^2 c^2 }{(a^2 + b^2 + c^2)^2 }$

et donc le rayon du cercle de Henri Brocard est :


$\rho_{B}=\rho\dfrac{\sqrt{a^4 + b^4+ c^4 - a^2 b^2 - a^2 c^2 - b^2 c^2} }{a^2 + b^2 + c^2}.$


Amicalement