En 2021 revoyons nos classiques
Toute simple en termes de cyrapports :
$$
\sqrt{2}\,|zf_2,f_1f_0| - \sqrt{2}\,|zf_1,f_2f_0| = \pm 1
$$
prête à se transformer via n'importe quelle cycline,
elle veut bien se montrer aussi habillée en termes de distances :
$$
\sqrt{2}\,|zf_1||f_2f_0| - \sqrt{2}\,|zf_2||f_1f_0| = \pm |zf_0| |f_1f_2|
$$
Vous prendrez bien une petite inversion ?
Remarques.
$f_0(0,0)$ , $f_1(\sqrt{2}-2,0)$ , $f_2(\sqrt{2}+2,0)$ .
Le cyrapport est la norme du birapport complexe.
Cycline : une trsf. circulaire. Si on note celle-ci $z\mapsto z'$ alors $|a'b',c'd'| = |ab,cd|$ .
Comme on le voit icy, le cyrapport est un concept
utile dès qu'on travaille dans le plan d'Argand-Cauchy
$$
\sqrt{2}\,|zf_2,f_1f_0| - \sqrt{2}\,|zf_1,f_2f_0| = \pm 1
$$
prête à se transformer via n'importe quelle cycline,
elle veut bien se montrer aussi habillée en termes de distances :
$$
\sqrt{2}\,|zf_1||f_2f_0| - \sqrt{2}\,|zf_2||f_1f_0| = \pm |zf_0| |f_1f_2|
$$
Vous prendrez bien une petite inversion ?
Remarques.
$f_0(0,0)$ , $f_1(\sqrt{2}-2,0)$ , $f_2(\sqrt{2}+2,0)$ .
Le cyrapport est la norme du birapport complexe.
Cycline : une trsf. circulaire. Si on note celle-ci $z\mapsto z'$ alors $|a'b',c'd'| = |ab,cd|$ .
Comme on le voit icy, le cyrapport est un concept
utile dès qu'on travaille dans le plan d'Argand-Cauchy
Réponses
-
Ce qu'il faut regarder à l'intérieur
du cercle d'inversion. -
Merci Soland, pour cette figure
Quelle pureté ! quelle élégance ! c'est véritablement de l'art !
Que vaut le rapport de l'aire d'une zone située entre la strophoïde et l'hyperbole et l'aire de la boucle de la strophoïde ? Je suppose qu'il dépend du rapport de l'inversion ?
Avec toutes mes excuses si je me trompe dans l'identification des courbes ...
Bonne année !
JLB -
J'ai choisi 1 comme puissance de l'inversion. J'y reviendrai.
Ravi que ça te plaise. -
P.S.
La composée de deux inversions de même centre est une homothétie,
Ton aire dépend bien de la puissance de l'inversion. -
Transformons maintenant la courbe initiale
$$
\sqrt{2}\,|zf_2,f_1f_0| - \sqrt{2}\,|zf_1,f_2f_0| = \pm 1
$$ par une inversion notée $J:z\mapsto z'$ centrée en $f_0$ .
Les inversions sont des cyclines et conservent les cyrapports, l'équation de la transformée est
$$
\sqrt{2}\,|zf'_2,f'_1\infty| - \sqrt{2}\,|zf'_1,f'_2f_0| = \pm 1.
$$ Or $|zf'_2,f'_1\infty| = |zf'_2,f'_1| = |zf'_1|/|f'_2f'_1|$ etc,
L'équation de la transformée est donc
$$
\sqrt{2}\,|zf'_1| - \sqrt{2}\,|zf'_2| = \pm |f'_1f'_2|.
$$ Une hyperbole d'excentricité $\sqrt{2}\,$ qui est donc équilatère.
Attardons-nous sur les coefficients. Le double $\sqrt{2}$ signale une quartique ou une cubique ayant un point double, un point frontière dans l'espace de ces courbes, séparant celles qui ont deux composantes connexes de celles qui n'en ont qu'une. Et cela se voit au premier coup d'œil.
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