Les cercles pour triangle extrême

Tonm
Tonm
dans Géométrie
Bonjour, ce problème(s) est une modification d'un apparu danc Crux ce dernier numéro Oct-2020

$a,b$ sont deux côtés d'un triangle, déterminer son troisième côté $c$ pour que les cercles circonscrits, inscrits (ou autres cercles?) soient extrêmes i.e. de rayon maximales ou minimales.

Le problème posé dans la revue était pour le cercle inscrit et un triangle isocèle... en général ça parait compliquée comme le problème de trouver les racines de polynômes de degré $>2$ etc

Réponses

  • pappus
    pappus
    Merci Tonm pour ce beau problème très riche.
    Pour lancer la discussion, j'ai tracé l'enveloppe du cercle inscrit dans le triangle $ABC$ quand le point $C$ décrit le cercle $\Gamma$ de centre $A$ passant par $B$.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus115264
  • Tonm
    Tonm
    Oui, pour le cercle inscrit $I$ j'arrive à l'équation $x^3-x^2(2a+2b)+2ab(2a+2b)=0$ avec le rayon de $I$ maximal pour $c=X-a-b$, $X$ la racine maximale de l'équation. Ça ne [se] simplifie pas.

    Peut-être le cercle circonscrit est plus simple.
    Les rayons minimaux sont pour les triangles aplatis.
  • pappus
    pappus
    Merci Tonm
    Non seulement tu as des difficultés à t'exprimer en français mais aussi à exposer les résultats sans doute très intéressants que tu as obtenus
    Quel est la définition mathématique de $x?\qquad$
    Mystère....
    Comment as-tu obtenu cette équation?
    ....et boule de gomme!!
    C'est comme si tu ne nous avais rien dit.
    Regarde la méthode que j'ai adoptée dans les fils voisins.
    Je fais d'abord la figure.
    J'observe ce qui se passe en faisant bouger le point $C$ par exemple.
    Ensuite je fais les calculs!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Chaurien
    Chaurien
    Oui pour une fois je trouve la même chose. Ça s'obtient sans trop de mal avec l'axiome de Héron (pour parler comme pappus (:D), et $r=\frac Sp$. Je n'avais pas posté à ce sujet car cette équation du troisième degré me semblait désespérante.
  • Tonm
    Tonm
    Bonjour, les calculs son direct si le rayon du cercle inscrit est $r$, $r^2=\dfrac{(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{4(a+b+c)}$ puis une derivation par rapport à $c$ mène à l'équation (en fait j'ai fait un changement de variable $x=a+b+c$) mais le $c$ optimale est une racine de la dérivée qui est entre $|b-a|$ et $b+a$. Si $a=b$ ça se calcule particulièrement.

    Je croyais à une chose simple.

    Cordialement
  • Chaurien
    Chaurien
    Avec les notations classiques on a : $r^{2}=\frac{S^{2}}{p^{2}}=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$, soit : $4r^{2}=\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{a+b+c}$.
    On fixe $a$ et $b$, on peut supposer $0<a \le b~$ SPDG, et on remplace $c$ par une variable $x \in [b-a,a+b]$.
    Alors $4r^2$ est donné par : $f(x)=\frac{(b-a+x)(a-b+x)(a+b-x)}{a+b+x}$. Pour étudier cette fonction sans trop s'embêter, on pose $a+b+x=t$, etc.
    Je suis heureux d'avoir suivi la même voie que Tonm, mais malheureusement je n'ai toujours pas l'équation de la quartique du problème de la trissectrice-médiane :-(.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    J'ai tapé mon dernier message sans avoir vu celui de Tonm. Les grands esprits se rencontrent. On ajoutait : comme les ânes à la barrière ;-).
  • Tonm
    Tonm
    Salut Chaurien, si tu parles par les mêmes calculs que je fais dans l'autre topic, j'obtiens en général des équations paramétriques qu'on peut faire implicite si on connait les équations par exemple une hyperbole
    $\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1$ on devra trouver $a,b$... $(x,y)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$

    Mais je penses que tu parles de celles de pappus en premier
    (Je croyais c'était l'équation d'une quadratique)

    Tu veux dire les chevaliers:)
  • Chaurien
    Chaurien
    Ce qui est remarquable pour le triangle isocèle, c'est que pour une fois on ne trouve pas le triangle équilatéral comme configuration optimale, mais on voit apparaître le Nombre d'or.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Chaurien
    J'ai écrit l'équation de cette quartique, que veux-tu de plus?
    Si tu n'y arrives pas avec la méthode que tu as choisie, c'est que cette méthode n'est pas adaptée!
    Merci pour l'explication de tes calculs.
    Comment as-tu deviné que ce sont les mêmes que ceux de Tonm?
    Il ne nous as rien dit!
    Quant à moi, j'aurais préféré un bon vieux dessin avant de commencer quelque calcul que ce soit.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus115302
  • Tonm
    Tonm
    Bonsoir, je crois que si c'est simple de voir que le rayon nulle est pour le triangle aplati donc $c\to a+b$, Le rayon du cercle circonscrit $R$ semble exploser en s'approchant d'un triangle applati. Il semble croissant en $c$ aussi, augmenter un côté augmente le rayon $R$ (il fallait une preuve mais ça y est).



    Est ce que le rayon $R$ minimale est simple à envisager en fonction de $a,b$ fixes et $c$ variable?

    Excusez moi pappus si je passe du rayon inscrit $r$ et les figures mais le max de $r$ peut être lié au min de $R$ ça sera nouveau.
  • Chaurien
    Chaurien
    On peut essayer la même méthode. À partir de la formule bien connue $abc=4RS$ et de la formule de Héron, il vient :
    $\frac {a^2b^2}{R^2}=\frac {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{c^2}$. On fixe $a $ et $b$ avec $0<a \le b$, et on fait varier $c$ dans $[b-a,a+b]$. Faut voir...
  • Chaurien
    Chaurien
    Continuons. On a vu que : $abc=4RS$. Avec $a,b$ fixés, $0<a\leq b$, et $c\in \lbrack b-a,a+b]$, on a :
    $\frac{a^{2}b^{2}}{R^{2}}=\frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}=\frac{1}{c^{2}}%
    (a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$$=\frac{1}{c^{2}}((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(b-a)^{2})$.
    Soit $x=c^{2},A=(b-a)^{2},B=(a+b)^{2},0\leq A<B$. On doit étudier la fonction : $f(x)=\frac{1}{x}(B-x)(x-A)=A+B-x-\frac{AB}{x}$ pour $x\in [A,B]$. Maximum pour $x=\sqrt {AB}$, soit $c^2=b^2-a^2$, triangle rectangle d'hypoténuse $b$. C'est le triangle qui réalise le minimum du rayon du cercle circonscrit.
    En espérant ne pas m'être trop trompé.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Et au fond, ça n'a rien d'extraordinaire, ce résultat. Pour les triangles ayant deux côtés donnés $a$ et $b$ avec $a \le b$, le diamètre du cercle circonscrit est supérieur ou égal à $b$ et il est donc minimum quand il est égal à $b$, ce qui se produit pour un triangle rectangle d'hypoténuse $b$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Tonm
    Tonm
    Oui merci la somme de deux rayons est plus grande que le côté opposé par inégalité triangulaire.
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