Avec le point de De Longchamps

Bonjour et Meilleurs vœux pour 2021

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence $ABC$ :

$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

M un point de [BC] :

$M\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ 1-t\\ t\end{array}\right]$

E le milieu de [AB] :

$E\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\0\end{array}\right]$

Lc le point de De Longchamps du triangle MAC :

$Lc\simeq \left[\begin{array}{c} 3 a^4 - 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4-4 a^2 (a^2 + b^2 - c^2) t\\ -a^4 - 2 a^2 b^2 + 3 b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 - c^4+(a^4 + 6 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4) t\\ -a^4 + 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 3 c^4+(3 a^4 - 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) t\end{array}\right]$

Question : (MLc) est-elle perpendiculaire à (ME) ?

$(MLc) \simeq \left[\begin{array}{c} a^4 (-1 + 5 t - 4 t^2) - (b^2 - c^2) (-3 c^2 (-1 + t) +
b^2 (1 + 3 t)) - 2 a^2 (c^2 (1 + t - 2 t^2) + b^2 (-1 + t + 2 t^2))\\-t ((b^2 - c^2)^2 + a^4 (-3 + 4 t) +
2 a^2 (c^2 (1 - 2 t) + b^2 (1 + 2 t)))\\ -(b^2 - c^2)^2 (-1 + t) + a^4 (-3 + 7 t - 4 t^2) -
2 a^2 (-1 + t) (c^2 (1 - 2 t) + b^2 (1 + 2 t))\end{array}\right]=U$

$(ME) \simeq \left[\begin{array}{c} -t\\ t\\ -1+t \end{array}\right]=V$

On a

$U^{t} \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times V=-(a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (a^2 - b^2 - c^2)$
$=16S^2(a^2 - b^2 - c^2)$

Or par hypothèse, le triangle ABC est A-rectangle. D'après le théorème de Pythagore, on $a^2=b^2+c^2$ soit $a^2-b^2-c^2=0$ et ainsi $U^{t} \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times V=0.$

Ainsi la droite $(MLc)$ est perpendiculaire à la droite $(ME).$

Amicalement

Bonjour Jean-Louis, et bonne année 2021,

Un petit Morley de l'année:

% Jean-Louis Ayme - 05 Janvier 2020 - Avec le point de De Longchamps

clc, clear all, close all

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

m=b+t*(c-b);      % Un point M de (BC)
mB=bB+t*(cB-bB);

[lc lcB]=DeLongchamps(m,a,c,mB,aB,cB); % Point de De Lonchamps de MAC

e=(a+b)/2;       % Le milieu E de [AB]
eB=(aB+bB)/2;

mlc=Factor(lc-m); % Vecteur MLc
mlcB=Factor(lcB-mB);

me=Factor(e-m);   % Vecteur ME
meB=Factor(eB-mB);

% On écrit que MLc et ME soient orthogonaux

Nul=Factor(mlc*meB+mlcB*me) 

% On trouve Nul=-((b + c)*(a - b)*(a - c))/(2*a*b*c)
% Nul est donc égal à 0 si b+c=0, c'est à dire si ABC est rectangle en A

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

C'est un code en Matlab, et il démontre par la géométrie analytique.

Cordialement,

Rescassol