Avec le point de De Longchamps
dans Géométrie
Bonjour,
Le problème proposé : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2157788 était un lemme pour résoudre celui-ci.
1. ABC un triangle A-rectangle
2. M un point de [BC]
3. E le milieu de [AB]
4. Lc le point de De Longchamps du triangle MAC.
Question : (MLc) est perpendiculaire à (ME).
Sincèrement.
Jean-Louis.
Le problème proposé : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2157788 était un lemme pour résoudre celui-ci.
1. ABC un triangle A-rectangle
2. M un point de [BC]
3. E le milieu de [AB]
4. Lc le point de De Longchamps du triangle MAC.
Question : (MLc) est perpendiculaire à (ME).
Sincèrement.
Jean-Louis.
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Réponses
J'utilise les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence $ABC$ :
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
M un point de [BC] :
$M\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ 1-t\\ t\end{array}\right]$
E le milieu de [AB] :
$E\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\0\end{array}\right]$
Lc le point de De Longchamps du triangle MAC :
$Lc\simeq \left[\begin{array}{c} 3 a^4 - 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4-4 a^2 (a^2 + b^2 - c^2) t\\ -a^4 - 2 a^2 b^2 + 3 b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 - c^4+(a^4 + 6 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4) t\\ -a^4 + 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 3 c^4+(3 a^4 - 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) t\end{array}\right]$
Question : (MLc) est-elle perpendiculaire à (ME) ?
$(MLc) \simeq \left[\begin{array}{c} a^4 (-1 + 5 t - 4 t^2) - (b^2 - c^2) (-3 c^2 (-1 + t) +
b^2 (1 + 3 t)) - 2 a^2 (c^2 (1 + t - 2 t^2) + b^2 (-1 + t + 2 t^2))\\-t ((b^2 - c^2)^2 + a^4 (-3 + 4 t) +
2 a^2 (c^2 (1 - 2 t) + b^2 (1 + 2 t)))\\ -(b^2 - c^2)^2 (-1 + t) + a^4 (-3 + 7 t - 4 t^2) -
2 a^2 (-1 + t) (c^2 (1 - 2 t) + b^2 (1 + 2 t))\end{array}\right]=U$
$(ME) \simeq \left[\begin{array}{c} -t\\ t\\ -1+t \end{array}\right]=V$
On a
$U^{t} \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times V=-(a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (a^2 - b^2 - c^2)$
$=16S^2(a^2 - b^2 - c^2)$
Or par hypothèse, le triangle ABC est A-rectangle. D'après le théorème de Pythagore, on $a^2=b^2+c^2$ soit $a^2-b^2-c^2=0$ et ainsi $U^{t} \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times V=0.$
Ainsi la droite $(MLc)$ est perpendiculaire à la droite $(ME).$
Amicalement
Meilleurs Voeux à AD. (merci) ainsi qu'à Bouzar....Joie*Santé*Bonheur...
Ce problème, c'est du lourd...
Notons F le milieu de [AC] et Hc l'orthocentre du triangle MAC.
Remarquer que (FHc) // (MLc)...
Sincèrement
Jean-Louis
Un petit Morley de l'année: Cordialement,
Rescassol
C'est un code en Matlab, et il démontre par la géométrie analytique.
Cordialement,
Rescassol
https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ vol. 77 Le point de De Longchamps p. 76...
Sincèrement
Jean-Louis