Rectangle inscrit dans un triangle

Piteux_gore · January 2021

Bonjour,

On considère un triangle de base $b$ et de hauteur $h$, dans lequel on inscrit un rectangle de base $x$ (alignée sur $b$) et de hauteur $y$ ; on démontre facilement, grâce à Thalès, que $x/b + y/h = 1$.

Cette relation simplifie ces problèmes classiques que sont
Inscrire un rectangle de périmètre donné dans un triangle donné ou Inscrire un rectangle d'aire maximale dans un triangle donné, etc.

Cela pourrait peut-être faire un exercice sympa pour classes de 3ème et + ?

A+

soland · January 2021

un rectangle de base x (alignée sur b) ?
$(b,h,x,y) sont-ils des nombres ou des segments ?

Tonm · January 2021

Bonjour, @soland ce sont les segments côtés du triangle ou rectangle. Pour la question initiale ce n'est pas simple à un élève de tirer cette équation même si tu dis appliques Thalès à ce triangle ou autre vue qu'il y a un petit point à faire en faisant la projection (pied de la hauteur) et le calcul à simplifier (à première vue).

Cordialement

Tonm · January 2021

Bonjour, voilà un élève (doit) prouver le suivant:
$\dfrac{GE}{h}=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{CF}{CD}$
Donc $\dfrac{y}{h}=\dfrac{DC-DF}{DC}$
Puis $\dfrac{y}{h}+\dfrac{DF}{DC}=1$

Et enfin par Thalès, $\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DF+DE}{DC+DB}$
Vous remarquez qu'il y a équivalence pour inscrire le rectangle.
C'est ding. Merci 115452

Piteux_gore · January 2021

RE

Voici une suggestion d'exercice pour la classe de 3ème :
1) Montrer que l'on peut inscrire des rectangles appuyés sur un côté du triangle, pourvu que les angles adjacents soient aigus.
2) Démontrer la relation susmentionnée.
3) En déduire le périmètre du rectangle en fonction de sa hauteur ; variations de la fonction.
4) Démontrer que l'on peut inscrire un carré appuyés sur un côté du triangle, pourvu que les angles....

Pour la classe de 2de, on pourrait ajouter :
5) En déduire l'aire du rectangle en fonction de sa hauteur ; prouver a priori qu'il y a un maximum, puis le calculer.

A+

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