Théorème de Cristoforo Alasia
Bonsoir,
Je propose ce nouveau problème.
Théorème de Cristoforo Alasia :
Soient $\Omega$ et $\Omega'$ les deux points de Brocard d'un triangle $ABC.$
Le triangle $ABC$ est isocèle en $C$ si, et seulement si, la droite $(\Omega \Omega')$ est parallèle à la base $(AB).$
Amicalement
Je propose ce nouveau problème.
Théorème de Cristoforo Alasia :
Soient $\Omega$ et $\Omega'$ les deux points de Brocard d'un triangle $ABC.$
Le triangle $ABC$ est isocèle en $C$ si, et seulement si, la droite $(\Omega \Omega')$ est parallèle à la base $(AB).$
Amicalement
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Réponses
Rescassol
en considérant le centre du cercle circonscrit O et le point de Lemoine K de ABC,
(OK) est perpendiculaire à l'axe de Brocard i.e. la droite passant par les deux points de Brocard....
Sincèrement
Jean-Louis
Les deux points de Brocard $\Omega ,\Omega^{\prime }$ ont pour coordonnées barycentriques $\left( \dfrac{1}{b^{2}}:\dfrac{1}{c^{2}}:\dfrac{1}{a^{2}}\right) $ et $\left(\dfrac{1}{c^{2}}:\dfrac{1}{a^{2}}:\dfrac{1}{b^{2}} \right) $.
On a $\overrightarrow{\Omega \Omega^{\prime }}$ est colinéaire à $b^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right) \overrightarrow{AB}+c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) \overrightarrow{AC}$.
"$\Rightarrow$"
Supposons que Le triangle $ABC$ est isocèle en $C$. Alors $a=b.$
Par suite, $\overrightarrow{\Omega \Omega^{\prime }}$ est colinéaire à $a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right) \overrightarrow{AB}.$
Ainsi la droite $(\Omega \Omega')$ est parallèle à la base $(AB).$
"$\Leftarrow$"
Supposons que la droite $(\Omega \Omega')$ est parallèle à la base $(AB).$ Puisque $\overrightarrow{\Omega \Omega^{\prime }}$ est colinéaire à $b^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right) \overrightarrow{AB}+c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) \overrightarrow{AC}$, on en déduit que $a=b$
Amicalement