Théorème des milieux

Piteux_gore · January 2021

Bonjour,

La preuve suivante du théorème des milieux est-elle connue ?

Soient $ABC$ un triangle, $AH$ la hauteur issue de $A$, et $A', B', C'$ les milieux des côtés.
$AC'HB'$ est un cerf-volant ou un fer de lance (car médiane d'un triangle rectangle égale moitié de l'hypoténuse), et donc $B'C'$ est perpendiculaire à $AH$, et donc $B'C'$ est parallèle à $BC$.
On a de même que $A'B'$ est parallèle à $AB$, ce qui fait que $BA'B'C'$ est un parallélogramme, donc que $B'C' = A'B = BC/2$.

PS : En fait, il n'y a pas besoin de parler de fer de lance ou autre ; il suffit de parler de triangles isocèles ayant une base commune.
On peut aussi démontrer la propriété pour le triangle rectangle, puis en déduire qu'elle s'applique au triangle quelconque.

A+

jelobreuil · January 2021

Bonjour Piteux_gore,
J'avoue que personnellement, je ne connaissais pas, mais elle est limpide ! Merci !
Bien cordialement
JLB

Piteux_gore · January 2021

RE

Elle m'est venue, pendant que je m'intéressais à une technique de construction règle-compas consistant à remplacer un triangle par un triangle rectangle ayant mêmes base et hauteur.

A+

nicolas.patrois · January 2021

Elle utilise une structure euclidienne alors qu’on peut la démontrer presque uniquement en se servant de parallélogrammes, ce qui planque sous le tapis les quelques ennuis qu’on a déjà relevé dûs aux parallélogrammes.

Théorème des milieux

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