Avec deux triangles orthologiques

Bonsoir Jean-Louis,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence:

$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC:

$O \simeq \left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right].$

Le triangle A'B'C' O-cévien de ABC:

$A', B', C'\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\ 0\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\ 0\end{array}\right].$


A*B*C* les pieds des A, B, C-anticéviennes de O relativement à ABC:


$A^{*}, B^{*}, C^{*}\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ 0\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ 0\end{array}\right].$

A''B''C'' le triangle O-anticévien de ABC. A'', B'', C'' les points d'intersection de (B*B) et (C*C), de (C*C) et (A*A), de (A*A) et (B*B):

$A^{''}, B^{''}, C^{''}\simeq \left[\begin{array}{c}a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\ c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right].$

Questions :

(1) A''B''C'' et ABC sont orthologiques.

Je note:

$d_1$ la perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A''$
$d_2$ la perpendiculaire à $(AC)$ passant par $B''$
$d_3$ la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C''$

Elles sont concourantes. Ainsi les triangles $A''B''C''$ et $ABC$ sont orthologiques.

(2) O est le milieu des deux pôles d’orthologie.

Le calcul dit que c'est juste.

Amicalement

Bonjour à tous
Quel est le lieu des points dont le triangle anticévien est en orthologie avec le triangle de référence?
Amicalement
[small]p[/small]appus