Équation de cercle passant par quatre points
dans Géométrie
bonjour,
quelqu'un peut me dire comment calculer l'équation d'un cercle passant au plus près de 4 points (A,B,C,D)
Particularités , A et C sont sur une droite, B et D sur une autre droite. Les deux droites sont perpendiculaires.
merci
quelqu'un peut me dire comment calculer l'équation d'un cercle passant au plus près de 4 points (A,B,C,D)
Particularités , A et C sont sur une droite, B et D sur une autre droite. Les deux droites sont perpendiculaires.
merci
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Réponses
on peut prendre la moyenne des diamètres des 3 cercles passant par 3 des 4 points donnés .
Restera à positionner le centre au centre du quadrilatère formé par les médiatrices des côtés du quadrilatère initial
Cordialement
Que veux-tu minimiser quand tu dis "au plus près" ?
"A et C sont sur une droite" ??? Difficile de faire autrement ! S'ils ne sont pas confondus, ils définissent une droite, ils sont sur la droite ... (AC).
Cordialement.
Le cercle ne sert à rien, je pense (remarque de GaBuZoMeu).
-- Schnoebelen, Philippe
Il y a un et un seul cercle passant par ces 4 points.
Soit $O$ l'intersection des deux cordes alors $OA^2+OB^2+OC+OD^2$ est constant et vaut..
EDIt : non, c'est faux, mais peut-être que l'égalité suggérée peut servir
Pour 4 points situés sur un même cercle de centre O (donc cocyclique), $OA^2+OB^2+OC+OD^2$ peut être bien plus grand que le minimum cherché (Penser à 4 points très proches).
Cordialement.
Je note $A_1,A_2,A_3,A_4$ les quatre points donnés, $O$ le centre du cercle recherché et $r$ son rayon.
Si l'on veut minimiser la somme des carrés des distances au cercle, soit $\sum_{i=1}^4 (OA_i-r)^2$, on doit avoir $r= \dfrac14\,\sum_{i=1}^4 OA_i$ et, avec ce $r$, $\sum_{i=1}^4 \left(1-\dfrac{r}{OA_i}\right)\overrightarrow{OA_i}=0$.
Si l'on veut minimiser la somme des carrés des puissances par rapport au cercle, soit $\sum_{i=1}^4 (OA_i^2-r^2)^2$, on doit avoir $r^2= \dfrac14\,\sum_{i=1}^4 OA_i^2$ et, avec ce $r$, $\sum_{i=1}^4 \left(OA_i^2-r^2\right)\overrightarrow{OA_i}=0$.
Je pense que le problème est différent de axe qu'écrit GaBuZoMeu: les 4 points ne sont pas disposés n'importe comment, les diagonales sont perpendiculaires et je pense que distance ne veut pas dire carré des distances.
On doit donc chercher un point à distance minimale de 4 points disposés ainsi: si on fait brutalement cela donne une expression avec la somme de 4 radicaux, qui n'est pas passionnante. Il doit y avoir une solution déjà archi-connue etp lus élégante.
Mais ensuite,comment ajuster le rayon du cercle. Ce'st là q'on s'aperçoit que le problème est (après ou non) mal posé, car le rayon est nul. Donc le cercle ne sert qu'à enfumer le lecteur ?
Ou alors autre solution: ce qu'il appelle distance, c'est la DISTANCE ENTRE UN POINT ET LE PLUS PROCHE POINT DE CONTACT DU CERCLE AVEC LES AXES, ce qui donne un système plus simple...
Et apparemment, tu n'as aucune idée de la méthode des moindres carrés.
Bref, tu te fourvoies complètement.
Le "plus proche" au sens des moindres carrés, les écarts étant mesurés soit par la distance du point au cercle (par défaut), soit par la puissance du point par rapport au cercle. J'ai utilisé le module scipy.optimize.
En essayant un truc proche de la configuration du premier message de ce fil, on obtient des résultats très peu différents avec les deux critères : ((-6.532280437644826, 8.459357022681086), 39.234319972977424) ((-6.5316661257390365, 8.458590451953457), 39.2346347778732)
Avec une configuration plus biscornue, les résultats sont sensiblement différents : ((8.604866685914017, 12.617797703194075), 31.995316935305034) ((5.148340662190486, 9.845309933854468), 32.270244150867754)
En rouge avec la distance, en vert avec la puissance :
Voir ce fil.
Cordialement,
Rescassol
Avec le critère "distance" que je prends par défaut, pas moyen de se ramener à un problème linéaire.
il me semblait clair, mais à voir vos remarque je pense maintenant qu'il est très mal énoncé.
MATHISSE à raison quand je dis passer au plus près des points, c'est la distance minium entre un point et le plus proche point de contact du cercle avec les axes.
j'espère que c'est plus clair.
mais comme il y a plusieurs points, il y a plusieurs "plus proches". Comment en tiens-tu compte ?
Quelques méthodes correspondant à divers "plus proches".
* Je prends les cercles qui passent par 3 des points, et pour chacun je mesure la distance du quatrième au cercle. Je choisis le cercle pour lequel cette distance est minimale.
* je renonce à faire passer le cercle par les 4 points, j'essaie seulement que les distances au cercle soient faibles et "équilibrées"
* Je fais la somme des distances des 4 points à un cercle variable, et je choisi le (ou les) cercle pour lequel la distance est minimale.
* Je fais la somme des carrés des distances des 4 points à un cercle variable, et je choisi le (ou les) cercle pour lequel la distance est minimale. Méthode des moindres carrés proposée ci-dessus par GBZM.
* ...
Cordialement.
C'est bien que tu te sois réveillé.
J'ai l'impression que ton problème, mal formulé, vient d'une situation que tu ne nous as pas décrite. Donne nous le contexte, et on pourra faire des réponses plus pertinentes.
La problématique habituelle est de retrouver un cercle à partir d'un nuage de points. La technique qu'on trouve souvent est une méthode de moindre carrés à partir des écarts qui sont les puissances par rapport à un cercle (c'est ce que fait J. Jacquelin, et c'est ce que fait la procédure de Rescassol).
La procédure que j'ai écrite plus haut propose cette méthode en option, et propose par défaut un ajustement par moindres carrés avec comme écart la distance au cercle.
Il semble que ton problème particulier se limite à quatre points, deux sur un axe vertical et deux sur un axe horizontal, et que tu prends pour écart la distance d'un point à la plus proche intersection du cercle avec l'axe sur lequel se trouve ce point. Pour quelle raison t'intéresses-tu à ce problème particulier ?
Ça serait mieux s'il n'y avait pas besoin d'attendre une semaine pour avoir une réponse.;-)
J'explique le problème réel en oubliant le coté mathématique.
On a une machine qui fore un trou théoriquement rond dans un matériau. De part les frottements, arrachements et autres phénomènes le trou n'est pas rond. On contrôle ce trou avec un outil donnant 4 rayons perpendiculaires. L'outil de contrôle n'est pas forcement centré dans le trou et ne mesure donc pas forcément des diamètres.
Je me retrouve donc avec des points sur le bord du trou et je cherche quel cercle passe au plus près de ces quatre points pour calculer une surface le plus près possible de la réalité.
Est-ce plus précis ?
Merci.
Cordialement.
Et normalement, les écarts de ces distances au rayon programmé du trou sont faibles ?
oui pour les mesures, pour les écarts on peut avoir un gros arrachement donc gros écart
-au fait que le trou est bien circulaire mais que le centre et le rayon peuvent différer ce ce qui était prévu ,
- au fait que la forme du trou n'est pas circulaire ?
Dans ce dernier cas, pourquoi chercher un cercle passant au plus près des quatre points ? Le trou pourrait être elliptique, par exemple ?
Et qui dit outil de contrôle dit théorie sous-jacente. Tu t'es renseigné là-dessus ?
L'objectif est d'estimer la surface du trou ?
Pourquoi ne pas calculer l'aire de l'intérieur de l'ellipse d'axes parallèles à (AC) et (BD) passant par A,B,C,D ? Ça, c'est facile, l'aire est :
$$\pi \dfrac{(x_A-x_C)^2(y_B-y_D)^2-(x_A+x_C)^2(y_B+y_D)^2} {16\sqrt{x_Ax_Cy_By_D}}\;.$$
On peut jouer avec un applet GeoGebra ici. Bouger les points A,B,C,D sur les axes.
Ou sinon, empiriquement, tu superposes un quadrillage à l'image de ton trou, tu dessines le polygone le plus proche du trou dont les sommets sont sur le quadrillage, et tu appliques le théorème de Pick.
$A=I+\frac F 2 - 1$
A : Aire du trou, en carrés de quadrillage.
I : sommets à l'intérieur du polygone.
F : sommets sur la frontière du polygone.
Libre à toi de faire un quadrillage plus ou moins serré.
$$ \dfrac{\pi}{16}\left(\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_B+y_D)^2} + \sqrt{(x_A+x_C)^2+(y_B-y_D)^2}\right)^2\;. $$
On peut remarquer que le centre du cercle choisi par fm31 coïncide avec le centre de l'ellipse d'axes verticaux et horizontaux passant par les quatre points
.
J'ai mis les deux options dans un applet GeoGebra (cliquer ici). Vous pouvez jouer avec en bougeant A,B,C,D. On peut voir que les deux options peuvent donner des résultats sensiblement différents. Laquelle est la plus réaliste ? Impossible de décider à partir des éléments fournis par philouphilou.
Le sujet est clôs pour moi.
philouphilou
Le mystère de ton histoire reste entier pour moi. ;-)