Équation de cercle passant par quatre points

Bonjour,

Que veux-tu minimiser quand tu dis "au plus près" ?

fait la question est (?): étant donné quatre points, trouver le point O qui minimise la somme ds distances OA+OB+OC+OD ?
Le cercle ne sert à rien, je pense (remarque de GaBuZoMeu).

Bonsoir,

Il y a un et un seul cercle passant par ces 4 points.
Soit $O$ l'intersection des deux cordes alors $OA^2+OB^2+OC+OD^2$ est constant et vaut..

EDIt : non, c'est faux, mais peut-être que l'égalité suggérée peut servir

On peut vouloir minimiser le maximum des distances au cercle, la somme des distances au cercle, la somme des carrés des distances au cercle, la somme des carrés des valeurs prises par l'équation (normalisée) du cercle, ou la somme des valeurs absolues des valeurs de cette équation ...

C'est dommage...

Je pense que le problème est différent de axe qu'écrit GaBuZoMeu: les 4 points ne sont pas disposés n'importe comment, les diagonales sont perpendiculaires et je pense que distance ne veut pas dire carré des distances.

On doit donc chercher un point à distance minimale de 4 points disposés ainsi: si on fait brutalement cela donne une expression avec la somme de 4 radicaux, qui n'est pas passionnante. Il doit y avoir une solution déjà archi-connue etp lus élégante.

Mais ensuite,comment ajuster le rayon du cercle. Ce'st là q'on s'aperçoit que le problème est (après ou non) mal posé, car le rayon est nul. Donc le cercle ne sert qu'à enfumer le lecteur ?

Ou alors autre solution: ce qu'il appelle distance, c'est la DISTANCE ENTRE UN POINT ET LE PLUS PROCHE POINT DE CONTACT DU CERCLE AVEC LES AXES, ce qui donne un système plus simple...

Bon, pour voir, j'ai écrit une procédure python qui prend en entrée une liste de points du plan (au moins trois points) et retourne le centre et le rayon du cercle "le plus proche" des points.
Le "plus proche" au sens des moindres carrés, les écarts étant mesurés soit par la distance du point au cercle (par défaut), soit par la puissance du point par rapport au cercle. J'ai utilisé le module scipy.optimize.

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

def Carre_Distance(point1,point2) :
    return (point1[0]-point2[0])**2 + (point1[1]-point2[1])**2

def Distance_Sign(point, cercle) :
    centre = (cercle[0],cercle[1]) ; rayon =cercle[2]
    return np.sqrt(Carre_Distance(point,centre))-rayon

def Puissance(point,cercle) :
    centre = (cercle[0],cercle[1]) ; rayon =cercle[2]
    return Carre_Distance(point,centre)-rayon**2

def Cercle3Points(pt1,pt2,pt3) :
    m1=[pt2[0]-pt1[0], pt2[1]-pt1[1], \
        (pt1[0]**2+pt1[1]**2-pt2[0]**2-pt2[1]**2)/2]
    m2=[pt3[0]-pt2[0], pt3[1]-pt2[1], \
        (pt2[0]**2+pt2[1]**2-pt3[0]**2-pt3[1]**2)/2]
    ch=[m1[1]*m2[2]-m1[2]*m2[1],m1[2]*m2[0]-m1[0]*m2[2],\
        m1[0]*m2[1]-m1[1]*m2[0]]
    centre=(ch[0]/ch[2],ch[1]/ch[2])
    rayon=np.sqrt((centre[0]-pt1[0])**2+(centre[1]-pt1[1])**2)
    return centre, rayon

def CerclePresPoints(points,crit="distance") :
    centre0,rayon0=Cercle3Points(points[0],points[1],points[2])
    x0=np.array(list(centre0)+[rayon0])
    pts=np.array(points)
    if crit=="distance" :
        Residu = lambda x : np.array([Distance_Sign(point,x)\
                                       for point in points])
    if crit=="puissance" :
        Residu = lambda x : np.array([Puissance(point,x)\
                                       for point in points])
    res=least_squares(Residu,x0)
    return (res.x[0],res.x[1]),res.x[2]

En essayant un truc proche de la configuration du premier message de ce fil, on obtient des résultats très peu différents avec les deux critères :

CerclePresPoints([(32,0),(0,47),(-45,0),(0,-30)])

((-6.532280437644826, 8.459357022681086), 39.234319972977424)

CerclePresPoints([(32,0),(0,47),(-45,0),(0,-30)], crit="puissance")

((-6.5316661257390365, 8.458590451953457), 39.2346347778732)

Avec une configuration plus biscornue, les résultats sont sensiblement différents :

CerclePresPoints([(32,0),(0,47),(-10,0),(0,-30)])

((8.604866685914017, 12.617797703194075), 31.995316935305034)

CerclePresPoints([(32,0),(0,47),(-10,0),(0,-30)],crit="puissance")

((5.148340662190486, 9.845309933854468), 32.270244150867754)

En rouge avec la distance, en vert avec la puissance :

Au fond, sachant qu'il n'y a pas de critère absolu, le critère ultime ne serait-il pas esthétique ?

Bonjour philouphilou,

C'est bien que tu te sois réveillé.
J'ai l'impression que ton problème, mal formulé, vient d'une situation que tu ne nous as pas décrite. Donne nous le contexte, et on pourra faire des réponses plus pertinentes.

La problématique habituelle est de retrouver un cercle à partir d'un nuage de points. La technique qu'on trouve souvent est une méthode de moindre carrés à partir des écarts qui sont les puissances par rapport à un cercle (c'est ce que fait J. Jacquelin, et c'est ce que fait la procédure de Rescassol).
La procédure que j'ai écrite plus haut propose cette méthode en option, et propose par défaut un ajustement par moindres carrés avec comme écart la distance au cercle.

Il semble que ton problème particulier se limite à quatre points, deux sur un axe vertical et deux sur un axe horizontal, et que tu prends pour écart la distance d'un point à la plus proche intersection du cercle avec l'axe sur lequel se trouve ce point. Pour quelle raison t'intéresses-tu à ce problème particulier ?

Ça serait mieux s'il n'y avait pas besoin d'attendre une semaine pour avoir une réponse.;-)

Effectivement, on comprend mieux. Mais comment sais-tu que le cercle dont tu parles est le plus proche de la réalité (un trou pas vraiment circulaire) ?

Cordialement.

On contrôle ce trou avec un outil donnant 4 rayons perpendiculaires. L'outil de contrôle n'est pas forcement centré dans le trou et ne mesure donc pas forcément des diamètres.

Pour que les choses soient claires : le contrôle se fait à partir d'un point O qui devrait être le centre du trou circulaire ; on mesure les distances de O aux points du bord du trou situés sur deux axes perpendiculaires passant par O (les points A, B, C, D de ton dessin). C'est bien ça ?
Et normalement, les écarts de ces distances au rayon programmé du trou sont faibles ?

Les écarts peuvent être dus
-au fait que le trou est bien circulaire mais que le centre et le rayon peuvent différer ce ce qui était prévu ,
- au fait que la forme du trou n'est pas circulaire ?
Dans ce dernier cas, pourquoi chercher un cercle passant au plus près des quatre points ? Le trou pourrait être elliptique, par exemple ?

ah ok !! X:-(

e cherche quel cercle passe au plus près de ces quatre points pour calculer une surface le plus près possible de la réalité.

L'objectif est d'estimer la surface du trou ?
Pourquoi ne pas calculer l'aire de l'intérieur de l'ellipse d'axes parallèles à (AC) et (BD) passant par A,B,C,D ? Ça, c'est facile, l'aire est :

$$\pi \dfrac{(x_A-x_C)^2(y_B-y_D)^2-(x_A+x_C)^2(y_B+y_D)^2} {16\sqrt{x_Ax_Cy_By_D}}\;.$$

On peut jouer avec un applet GeoGebra ici. Bouger les points A,B,C,D sur les axes.

Bonjour

Ou sinon, empiriquement, tu superposes un quadrillage à l'image de ton trou, tu dessines le polygone le plus proche du trou dont les sommets sont sur le quadrillage, et tu appliques le théorème de Pick.

$A=I+\frac F 2 - 1$
A : Aire du trou, en carrés de quadrillage.
I : sommets à l'intérieur du polygone.
F : sommets sur la frontière du polygone.

Libre à toi de faire un quadrillage plus ou moins serré.

Autrement dit

$$ \dfrac{\pi}{16}\left(\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_B+y_D)^2} + \sqrt{(x_A+x_C)^2+(y_B-y_D)^2}\right)^2\;. $$

On peut remarquer que le centre du cercle choisi par fm31 coïncide avec le centre de l'ellipse d'axes verticaux et horizontaux passant par les quatre points
.
J'ai mis les deux options dans un applet GeoGebra (cliquer ici). Vous pouvez jouer avec en bougeant A,B,C,D. On peut voir que les deux options peuvent donner des résultats sensiblement différents. Laquelle est la plus réaliste ? Impossible de décider à partir des éléments fournis par philouphilou.

Si tu as essayé l'applet que j'ai mis en lien, tu as pu voir que les résultats peuvent être sensiblement différents.
Le mystère de ton histoire reste entier pour moi. ;-)