Triangle équilatéral et parabole

Il faut supposer que la parabole initiale a pour équation $ y^2=2px$
La normale au point $(\frac{t^2}{2p},t)$ a une équation de la forme indiquée si l'on pose $t=-pm$

Bonjour à tous
J'explique un peu ma figure.
La parabole a pour foyer $F$ et pour directrice $\Delta$.
Evidemment si les normales aux points $M_1$, $M_2$, $M_3$ forment un un triangle équilatéral $N_1N_2N_3$, les tangentes aux mêmes points forment aussi un triangle équilatéral $T_1T_2T_3$.
La configuration des tangentes est archi-archi connue.
Les sommets $T_1$, $T_2$, $T_3$ se trouvent sur l'hyperbole de foyer $F$, de directrice $\Delta$ et d'excentricité $2$.
Le centre $G_T$ du triangle équilatéral se trouve sur la directrice $\Delta$.
$G_M$ est le centre de gravité du triangle $M_1M_2M_3$
$G_N$ est le centre du triangle équilatéral du triangle $N_1N_2N_3$
Les points $G_T$, $G_M$, $G_N$ sont alignés sur une droite parallèle à l'axe de la parabole.
Cette droite coupe la parabole en $M$.
On a les relations:
$$\overrightarrow{G_TG_N}=6\overrightarrow{G_TM}=2\overrightarrow{G_TG_M}\qquad$$
Les triangles $T_1T_2T_3$ et $N_1N_2N_3$ sont directement semblables
Déterminer cette similitude et le lieu de son centre
L'application affine $M_1M_2M_3\longmapsto T_1T_2T_3$ se décompose en un produit commutatif d'une translation et d'une affinité. Déterminer cette décomposition.
Tout ceci peut se trouver synthétiquement mais à l'impossible nul n'est tenu!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus