Exercice sur les distances

pappus
pappus
dans Géométrie
Bonjour à tous
On a déjà dû donner cet exercice dans un passé indéterminé mais je le propose à nouveau par curiosité
On se donne un quadrilatère convexe $ABCD$ tel que:
$$AB+BC=AD+CD\qquad$$
Soit $E=AB\cap CD$ et $F=AD\cap BC$
Montrer que:
$$AE+EC=AF+CF\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus116396

Réponses

  • zephir
    zephir
    Bonjour Pappus,
    Deux ellipses homofocales ?
  • Casagrande
    Casagrande
    https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/UrquhartsTheorem.shtml
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir

    C'est effectivement le théorème de Malcolm Livingstone URQUHART que l'on trouve sur le site de Jean-Louis Ayme.

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Urquhart.pdf

    Amicalement
  • Ludwig
    Ludwig
    Bonjour,
    Joli théorème, je ne connaissais pas.
    Je prendrais bien le symétrique $C'$ de $C$ par rapport à $(EF)$, pour considérer le quadrilatère $AEC'F$, lui aussi convexe et devant du coup vérifier une égalité analogue.
    Ou bien - ou aussi - le symétrique $C''$ de $C$ par rapport à $(BD)$, pour considérer là aussi un certain quadrilatère.
    Et on recommence... ça fait quoi si on considère l'ensemble de ces quadrilatères convexes ? Rien du tout peut-être.
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour

    Attention ! Un ronchon pourrait dire que si (BC) // (AD) alors F n'existe pas. Ah ! Zut. C'est fait.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    J'aurais voulu que la deuxième ellipse soit une transformation de la première. A et C seraient invariants, B deviendrait E et D deviendrait F. Mais 2 invariants excluent l'homothétie. Et des directions de propagation différentes pour E et F me semble exclure l'affinité. Existe-til une transformation dilatante à partir d'une base en forme de segment (c'est à dire ni un point, ni une droite) ?

    Amusant de voir que si B, ou D, est aligné avec A et C, alors A=E et C=F. Cela milite pour que [AC] soit la base de la transformation recherchée.116380
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • pappus
    pappus
    Merci pour toutes vos réponses.
    Ainsi ce n'était pas la première fois qu'on en parlait ici!
    Que se passe-t-il si gardant la même condition:
    $$AB+BC=AD+CD\qquad$$
    on suppose que le quadrilatère $ABCD$ est croisé?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus116386
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Vais-je trop vite ou alors c'est impossible à moins que B=D=E=F ?
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Cette configuration de Urquhart m'a donné l'idée de l'exercice suivant que je propose sans la moindre illusion, uniquement pour l'honneur.
    Faut pas rêver!!!!!
    Les ellipses homofocales $E$ et $E'$ de foyers $F$ et $F'$ sont données.
    On a une infinité de quadrangles de Urquhart $(M,N,M',N').\qquad$ décrits sur la figure ci-dessous.
    Les six côtés du quadrangle passent par les points fixes $F$, $F'$, $P$, $Q$.
    Les quatre tangentes en $M$, $N$ à l'ellipse $E$ et en $M'$, $N'$ à l'ellipse $E'$ sont concourantes en $T$ dont le lieu est la droite prependiculaire en $R$ à l'axe focal.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus116398
  • soland
    soland
    Le dessin complet comporte 3 ellipses et trois hyperboles.
    J'ai posté deux fois un fil a ce sujet à mes débuts sur ce site,

    En 2015 et en 2019, je crois.
  • soland
    soland
    J'ai des difficultés avec mes dessins116410
  • Tonm
    Tonm
    Bonsoir, pappus, j'ai essayé les calculs il y a un si et seulement si (peut-être) vu que l'hypothèse de convexe pourrait être quadrilatère non croisé (pour avoir les prolongements et points d'intersection, la diagonale base est celle à l'intérieur).

    PS : je n'ai pas abouti mais on peut mettre cette équivalence avant vu les références données.
    Cordialement.
  • Tonm
    Tonm
    Modifié (May 2023)
    Bonsoir, aprés quelque travail j'ai mis un article la dessus. Peu populaire je crois vu les calculs mais il merite un post. Merci pappus.

    Vous pouvez commenter même si je l'ai soumis formellement (journal libre).
    Edit 2023 voir volume 8:
    https://www.journal-1.eu/
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