Exercice sur les distances
Bonjour à tous
On a déjà dû donner cet exercice dans un passé indéterminé mais je le propose à nouveau par curiosité
On se donne un quadrilatère convexe $ABCD$ tel que:
$$AB+BC=AD+CD\qquad$$
Soit $E=AB\cap CD$ et $F=AD\cap BC$
Montrer que:
$$AE+EC=AF+CF\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
On a déjà dû donner cet exercice dans un passé indéterminé mais je le propose à nouveau par curiosité
On se donne un quadrilatère convexe $ABCD$ tel que:
$$AB+BC=AD+CD\qquad$$
Soit $E=AB\cap CD$ et $F=AD\cap BC$
Montrer que:
$$AE+EC=AF+CF\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
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Réponses
Deux ellipses homofocales ?
C'est effectivement le théorème de Malcolm Livingstone URQUHART que l'on trouve sur le site de Jean-Louis Ayme.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Urquhart.pdf
Amicalement
Joli théorème, je ne connaissais pas.
Je prendrais bien le symétrique $C'$ de $C$ par rapport à $(EF)$, pour considérer le quadrilatère $AEC'F$, lui aussi convexe et devant du coup vérifier une égalité analogue.
Ou bien - ou aussi - le symétrique $C''$ de $C$ par rapport à $(BD)$, pour considérer là aussi un certain quadrilatère.
Et on recommence... ça fait quoi si on considère l'ensemble de ces quadrilatères convexes ? Rien du tout peut-être.
Attention ! Un ronchon pourrait dire que si (BC) // (AD) alors F n'existe pas. Ah ! Zut. C'est fait.
Amusant de voir que si B, ou D, est aligné avec A et C, alors A=E et C=F. Cela milite pour que [AC] soit la base de la transformation recherchée.
Ainsi ce n'était pas la première fois qu'on en parlait ici!
Que se passe-t-il si gardant la même condition:
$$AB+BC=AD+CD\qquad$$
on suppose que le quadrilatère $ABCD$ est croisé?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Cette configuration de Urquhart m'a donné l'idée de l'exercice suivant que je propose sans la moindre illusion, uniquement pour l'honneur.
Faut pas rêver!!!!!
Les ellipses homofocales $E$ et $E'$ de foyers $F$ et $F'$ sont données.
On a une infinité de quadrangles de Urquhart $(M,N,M',N').\qquad$ décrits sur la figure ci-dessous.
Les six côtés du quadrangle passent par les points fixes $F$, $F'$, $P$, $Q$.
Les quatre tangentes en $M$, $N$ à l'ellipse $E$ et en $M'$, $N'$ à l'ellipse $E'$ sont concourantes en $T$ dont le lieu est la droite prependiculaire en $R$ à l'axe focal.
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai posté deux fois un fil a ce sujet à mes débuts sur ce site,
En 2015 et en 2019, je crois.
PS : je n'ai pas abouti mais on peut mettre cette équivalence avant vu les références données.
Cordialement.
Vous pouvez commenter même si je l'ai soumis formellement (journal libre).
Edit 2023 voir volume 8:
https://www.journal-1.eu/