Tétraèdres débités

soland
soland
dans Géométrie
Devant le groupe des transformations affines, tous les tétraèdres naissent égaux en droit,
càd. qu'ils s'organisent en une seule orbite. La suite concerne donc le représentant standard
$O(0,0,0),X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)$ .

Certains, dans un fil parallèle, ont découpé $(XYZ)$ en triangles de même aire. "Pyramidisant"
ces bases en ajoutant le sommet $O$ , on crée un découpage de $(O,XYZ)$
en parts de même volume. Ces découpages sont triviaux.

Quels sont les découpages non triviaux de $(O,XYZ)$ en trois tétraèdres de même volume ?

Réponses

  • verdurin
    verdurin
    Une possibilité en image.
    J'ai l'impression que c'est la seule, à une permutation des points près.116970
  • verdurin
    verdurin
    verdurin a écrit:
    J'ai l'impression que c'est la seule, à une permutation des points près.
    De fait c'est faux.
  • soland
    soland
    Je vois deux plans de coupe contenant une même arête
    et coupant l'arête opposée en des points à déterminer.
    Et d'autres configurations encore ?
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour Soland,
    Il me semble que dans la configuration que tu indiques, les "deux plans de coupe" doivent nécessairement, pour des raisons de symétrie, couper "l'arête opposée" en deux points, J et K, symétriques l'un de l'autre par rapport au milieu de cette arête, n'est-ce pas ?
    Pour ce qui est de leurs positions précises, je ne vois pas très bien les choses, mais il me semble bien que, si l'on prend OX pour arête commune des trois tétraèdres "fils", et si l'on considère leur hauteur commune abaissée du sommet O sur la face XYZ, il faut partager l'arête YZ en trois parties, YJ, JK et KZ, dont a priori deux seulement, YJ et KZ, sont égales, et qui soient telles que les aires des faces XYJ, XJK et XKZ soient égales. Mais comme ces trois faces triangulaires ont pour hauteur commune la X-hauteur du triangle XYZ, les points J et K doivent bien partager l'arête YZ en trois parties égales.
    Bien cordialement
    JLB.
  • Tonm
    Tonm
    Bonsoir, si on veut on devra se poser quels sont les decompositions possibles d'un tétraèdre en trois petits tétraèdres de volumes égaux.

    À priori il y a deux une famille on commence par ce que Soland a décrit. On décompose une base en trois triangles d'air égale puis etc, la variante est avec la figure de verdurin, on prend un tiers de la base puis la moitié d'un autre côté. Cette famille est fini (je pense).

    [L' intéressant est si on prend un point au 'coeur' du tétraèdre et on relie les sommets. Mais là on décompose le tétraèdre en quatres de même volumes. À justifier en fait c'est le centre de gravité en question]

    Enfin on pourrais dire que ce sont les seuls configurations pour la decomposition en trois en raisonnant (par exemple) deux sommets des petits tétraèdres sont sur un meme côté ou confondus...

    Edit 2
    Cordialement
  • verdurin
    verdurin
    Finalement je suis presque certain que la configuration que j'ai présentée est la seule non triviale.
    J'ai pensé après coup à une ( des ) configurations du genre proposé par soland.
    Mais en fait toutes ces possibilités sont des découpages triviaux.

    Je joins un dessin pour l'idée de soland.
    C'est un découpage trivial : on prend la face (YOZ) comme base que l'on découpe en trois triangles égaux et on remonte tous ces triangles au sommet X.117120
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