Point de Fuhrmann comme centre d'un cercle

Bonjour,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence:

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

Le point de Spieker de ABC:

$S_p \simeq \left[\begin{array}{c} b + c\\ a + c\\ a + b\end{array}\right].$

$A'B'C'$ le triangle symétrique de ABC par rapport au point de Spieker $S_p$:

$A', B', C'\simeq \left[\begin{array}{c} -a\\ a+c\\ a+b\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} b+c\\ -b\\ a+b\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} b+c\\ a+c\\ -c\end{array}\right].$

$F_u$ le point de Fuhrmann du triangle $ABC$ :

$F_u \simeq \left[\begin{array}{c} -a^4 - 2 a^2 b c + a^3 (b + c) - a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2\\ a^4 - a^3 b - b^4 + a b (b - c)^2 + b^3 c + a^2 (b - 2 c) c - b c^3 + c^4\\ a^4 + b^4 - a^3 c - b^3 c + a (b - c)^2 c + b c^3 - c^4 + a^2 b (-2 b + c) \end{array}\right].$

Une équation barycentrique de la médiatrice du segment $[A'B']$ est $(-a^2 + b^2 + a c - b c + c^2)x+( -a^2 + b^2 + a c - b c - c^2)y +(a - b) cz=0$, une équation barycentrique de la médiatrice du segment $A'C'$ est $(-a^2 + a b + b^2 - b c + c^2)x + b (a - c)y +(-a^2 + a b - b^2 - b c + c^2 )z=0.$

Elles sont sécantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle $A'B'C'$ dont les coordonnées barycentriques sont $\simeq \left[\begin{array}{c} a^4 + 2 a^2 b c - a^3 (b + c) + a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2\\ -a^4 + a^3 b + b^4 - a b (b - c)^2 - b^3 c + b c^3 - c^4 + a^2 c (-b + 2 c)\\ -a^4 - b^4 +a^2 b (2 b - c) + a^3 c + b^3 c - a (b - c)^2 c - b c^3 + c^4\end{array}\right].$ Ce n'est autre que le point de Fuhrmann du triangle $ABC.$

Amicalement