Parallèle à une médiane

Bonjour Jean-Louis,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

ABC un triangle:

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

IJK le triangle médian:

$I, J, K\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\end{array}\right].$

D le symétrique de B par rapport à J :

$D \simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1\end{array}\right].$

X le milieu de [IK] :

$X \simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1\end{array}\right].$

E le point d'intersection de (DK) et (CX) :

$E \simeq \left[\begin{array}{c} -2\\ -4\\ 1\end{array}\right].$

Question : (BE) est-elle parallèle à (AI) ?

$(BE) \simeq \left[\begin{array}{c} 1\\0\\ 2 \end{array}\right]$

$(AI) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -1\\1 \end{array}\right]$

Le déterminant $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0& 2\\ 0&-1& 1\\ 1&1&1 \end{array} \right|\quad$ est nul.

Ainsi, $(BE)$ est parallèle à $(AI). $

Amicalement

Bonsoir, oui sûr, je vous mets l'énoncé (voir figure jointe).

$ABCD $ parallélogramme.
$\overrightarrow{BK}=r\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{BI}=r\overrightarrow{BC}$
$X$ milieu de $[KI]$
Si $R$ est le point tel que $\overrightarrow{CR}=r\overrightarrow{CB}$
alors $\overrightarrow{AR}=\alpha\overrightarrow{EB}$.

J'ai fait le cas $r=0.5$ mais c'est direct avec disons $Base (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$ ...


La preuve:

$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+(1-r)\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{CB}+(1-r)\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CB}+r\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{CX}=\dfrac{\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{CI}}{2}=\dfrac{(2-r)\overrightarrow{CB}+r\overrightarrow{BA}}{2}$.

À trouver $(x,y) $ avec $x \overrightarrow{CX}+y\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{BA}$.


En terme de base ce système donne $x=\dfrac{2}{r^2-2r+2}$

Enfin un remplacement vous donne $$x
\overrightarrow{XC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EB}=\alpha(\overrightarrow{AB}+(1-r)\overrightarrow{BC})$$ ou
$\alpha=\dfrac{r}{r^2-2r+2}$

Sauf erreur. Cordialement.

Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves.
Un sectateur de l'Axiome de Thalès devrait s'en tirer sans problème!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Super. Merci. Tout est clair.