Angle entre deux segments repère orthonormé
Bonjour a tous
Nouvel inscrit sur ce forum, je suis de niveau Bac+2 en mathématiques (enfin bon, c'était il y a 20 ans...)
Je cherche une solution a ce problème.
Dans un repère orthonormé, quelle formule permet de connaître l'angle formé par 2 segments AA' et BB' (définis par les coordonnées x et y des point A, A', B & B') ?
Sachant que je cherche une formule "universelle", qui fonctionne quelque soit le coefficient directeur des segments, et qui fonctionne même si les segments ne se croisent pas (ce sera donc l'angle formé par les droites qui prolongent ces segments).
J'ai réussi à établir une formule utilisant les produits scalaires, mais il me semble qu'elle ne fonctionne pas à tous les coups. Je la joins en image à ce post.
Merci à tous ceux qui auront pris le temps de me lire.
Julien.
Nouvel inscrit sur ce forum, je suis de niveau Bac+2 en mathématiques (enfin bon, c'était il y a 20 ans...)
Je cherche une solution a ce problème.
Dans un repère orthonormé, quelle formule permet de connaître l'angle formé par 2 segments AA' et BB' (définis par les coordonnées x et y des point A, A', B & B') ?
Sachant que je cherche une formule "universelle", qui fonctionne quelque soit le coefficient directeur des segments, et qui fonctionne même si les segments ne se croisent pas (ce sera donc l'angle formé par les droites qui prolongent ces segments).
J'ai réussi à établir une formule utilisant les produits scalaires, mais il me semble qu'elle ne fonctionne pas à tous les coups. Je la joins en image à ce post.
Merci à tous ceux qui auront pris le temps de me lire.
Julien.
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Réponses
Sinon, on a deux mesures possibles.
Oui, les segments sont orientés. A vers A' et B vers B'
(Je ne sais pas comment en vecteur avec la flèche au dessus!).
La notation standard est
$$
\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \centerdot \overrightarrow{CD}}{|AB|\times|CD|},
$$ où $\alpha$ est l'angle cherché.
Il reste à savoir pourquoi Jul75025 dit "il me semble qu'elle ne fonctionne pas à tous les coups". Comme l'expression "l'angle" recouvre pas mal de notions différentes, sans intervention de sa part, on peut disserter mais pas lui répondre.
Cordialement.
(*) celui mesuré par le rapporteur.
[oubli de la remarque]
@Bouzar : Je vais essayer cette formule
@Soland : Merci!
@Gerard : En fait, je me sers de cette formule dans un programme qui analyse des courbes. Le programme me donne à x, l'angle que forment les deux courbes entre x et x-1, et parfois, j'ai des valeurs incorrectes qui remontent sans savoir pourquoi. D'où mon questionnement.
En fait, c'est comme si j'avais une courbe de poids en Kg, une courbe de Taille en Cm, où l'axe x représente les jours, et je voulais connaitre l'angle entre ses deux courbes à chaque jour..
Peux-tu trouver un « cas étrange » où la mesure que tu veux n’est pas ce que renvoie la formule ?
Le problème venait d'une valeur d'angle négatif. La solution est de prendre la valeur absolue du résultat. C'était tout bête, mais ça m'a bloqué plusieurs jours !
En tout cas, merci à tous pour votre aide précieuse.
Pour savoir si c'est le signe $+$ ou le signe $-$, on considère le déterminant $ad-bc$.
Si $ad-bc\geqslant 0$ alors $\alpha=\mbox{arccos}\dfrac{ac+bd}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}$.
Si $ad-bc<0$ alors $\alpha=-\mbox{arccos}\dfrac{ac+bd}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}$.
Pourquoi ne pas utiliser la fonction "atan2" pour écrire l'angle orienté comme
$$2\arctan\left(\frac{ad-bc}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} +ac+bd}\right)\; ?$$
Soit $C$ un point du plan de coordonnées $(c_x,c_y)$.
On pose $$\begin{align}\alpha_x & := \frac{a'_x-a_x}{\sqrt{(a'_x-a_x)^2+(a'_y-a_y)^2}},
\alpha_y:= \frac{a'_y-a_y}{\sqrt{(a'_x-a_x)^2+(a'_y-a_y)^2}}, \\ \beta_x & := \frac{b'_x-b_x}{\sqrt{(b'_x-b_x)^2+(b'_y-b_y)^2}}, \beta_y:= \frac{b'_y-b_y}{\sqrt{(b'_x-b_x)^2+(b'_y-b_y)^2}} \end{align}$$ On pose également $u:= \alpha_x \alpha_y+\beta_x \beta_y$ et $v:= \alpha_x \beta_y - \beta_x \alpha_y $.
Alors l'application $f$ qui à un point de coordonnées $(p,q)$ fait correspondre le point de coordonnées $\left (c_x + u(p-c_x) - v (q-c_y), c_y + v (p-c_x) + u (q-c_y)\right)$ n'est autre que la rotation de centre $C$ et d'angle orienté $\theta$, où $\theta$ est l'angle orienté entre les demi-droites suivantes: $[AA')$ et l'image de $[BB')$ par la translation envoyant $B$ sur $A$.
En particulier, à aucun moment il n'est nécessaire, pour manipuler géométriquement l'angle en question, de calculer sa mesure $\theta$ à coups de fonctions trigonométriques inverses, puis de rapatrier le résultat via des fonctions trigonométriques au cours de calculs pénibles.
Un angle orienté est une rotation linéaire et rien d'autre.
[small]C'est à ceci que je faisais référence dans autre sujet du forum, quand je disais que le bouquin de Dieudonné "Algèbre linéaire et géométrie élémentaire" était mal compris.[/small]
Pour une fois que nous sommes d'accord...
A la lueur (lointaine ...) de vos définitions d'un angle orienté, je mesure avec profond respect la distance qui me sépare de vous en matière de connaissances géométriques ...
Bien cordialement
JLB