Angle entre deux segments repère orthonormé

Peut-on préciser si les segments sont orientés ou non ? Ce qui reviendrait à prendre un angle entre deux vecteurs.
Sinon, on a deux mesures possibles.

Ta formule est correcte.
La notation standard est
$$
\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \centerdot \overrightarrow{CD}}{|AB|\times|CD|},

$$ où $\alpha$ est l'angle cherché.

La question est de déterminer l'angle orienté entre $\overrightarrow{AA'}$ et $\overrightarrow{BB'}$. Posons $a=x_{A'}-x_A$, $b=y_{A'}-y_A$, $c=x_{B'}-x_B$, $d=y_{B'}-y_B$. On sait que $\cos\alpha=\dfrac{ac+bd}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}$, cependant le cosinus ne détermine pas complètement l'angle, on a $\alpha=\pm\mbox{arccos}\dfrac{ac+bd}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}$.

Pour savoir si c'est le signe $+$ ou le signe $-$, on considère le déterminant $ad-bc$.

Si $ad-bc\geqslant 0$ alors $\alpha=\mbox{arccos}\dfrac{ac+bd}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}$.

Si $ad-bc<0$ alors $\alpha=-\mbox{arccos}\dfrac{ac+bd}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}$.

Soient $A,A',B,B'$ sont des points du plan de coordonnées respectives $(a_x,a_y),(a'_x,a'_y), (b_x,b_y)$ et $(b'_x,b'_y)$ tels que $A\neq A'$ et $B \neq B'$.
Soit $C$ un point du plan de coordonnées $(c_x,c_y)$.
On pose $$\begin{align}\alpha_x & := \frac{a'_x-a_x}{\sqrt{(a'_x-a_x)^2+(a'_y-a_y)^2}},
\alpha_y:= \frac{a'_y-a_y}{\sqrt{(a'_x-a_x)^2+(a'_y-a_y)^2}}, \\ \beta_x & := \frac{b'_x-b_x}{\sqrt{(b'_x-b_x)^2+(b'_y-b_y)^2}}, \beta_y:= \frac{b'_y-b_y}{\sqrt{(b'_x-b_x)^2+(b'_y-b_y)^2}} \end{align}$$ On pose également $u:= \alpha_x \alpha_y+\beta_x \beta_y$ et $v:= \alpha_x \beta_y - \beta_x \alpha_y $.

Alors l'application $f$ qui à un point de coordonnées $(p,q)$ fait correspondre le point de coordonnées $\left (c_x + u(p-c_x) - v (q-c_y), c_y + v (p-c_x) + u (q-c_y)\right)$ n'est autre que la rotation de centre $C$ et d'angle orienté $\theta$, où $\theta$ est l'angle orienté entre les demi-droites suivantes: $[AA')$ et l'image de $[BB')$ par la translation envoyant $B$ sur $A$.

En particulier, à aucun moment il n'est nécessaire, pour manipuler géométriquement l'angle en question, de calculer sa mesure $\theta$ à coups de fonctions trigonométriques inverses, puis de rapatrier le résultat via des fonctions trigonométriques au cours de calculs pénibles.

Un angle orienté est une rotation linéaire et rien d'autre.

[small]C'est à ceci que je faisais référence dans autre sujet du forum, quand je disais que le bouquin de Dieudonné "Algèbre linéaire et géométrie élémentaire" était mal compris.[/small]

Moi qui croyais que c'était l'orbite d'un couple de demi-droites de même extrémité sous l'action du groupe des déplacements ! (:P)