Archéologie/calcul d'une calotte sphérique

Loki68 · February 2021

Bonjour amis mathématiciens

Je suis archéologue et j’ai besoin de vos lumières si vous le permettez.
Je travaille actuellement sur des tumulus : il s’agit de tertres de terre artificiels élevés au dessus de sépultures de personnages importants durant la pré- et la protohistoire en Europe. Un tumulus peut être considéré comme une calotte sphérique.
L’une des structures que j’étudie est un tumulus situé dans une parcelle agricole. Il est par conséquent extrêmement érodé. Son diamètre est de 95 m et sa hauteur conservée n’est plus que de 0,55 m. Par ailleurs, je connais son diamètre initiale : 31 m, car il subsiste un fossé circulaire qui ceinturait le monument à l’origine (visible en photo aérienne).
Dans les faits, le tertre d’origine qui mesurait 31 m de diamètre et une hauteur X s’est « étalé » par l’effet de l’érosion pendant 2500 ans pour devenir aujourd’hui une petite bosse de 95 m de diamètre avec une hauteur de 0,55 m.
Mon idée est la suivante : calculer le volume de la « calotte sphérique » actuelle (Ø = 95 m, h = 0,55 m) afin de pouvoir envisager sa hauteur initiale sachant que son diamètre d’origine était de 31 m.

J’ai trouvé sur internet la formule du calcul du volume d’une calotte sphérique mais il faut connaître le rayon de la sphère que je ne connais pas. J’imagine que c’est néanmoins possible, c’est la raison pour laquelle je fais appel à vous. En pièce-jointe un croquis qui résume ma demande car je sais qu’un dessin vaut 1000 mots !
D’avance je vous remercie pour vos réponses. 117466

YvesM · February 2021

Bonjour,

Pythagore : le triangle OAC est rectangle en C. Donc $R^2=r^2+(R-CD)^2.$

On calcule alors $R.$

marsup · February 2021

Bravo à Yves.

Si je ne me trompe pas, ça donne : $
\begin{aligned}[t]
R^2 & =r^2+(R-CD)^2. \\
R & = \frac{1}{2 \cdot CD} \cdot \big(r^2+CD^2\big). \\
& \approx 2051,41 \text{ m} \\
\end{aligned}
$

YvesM · February 2021

Bonjour,

Ton calcul est correct mais je n’ai pas vérifié l’application numérique.

Ton volume, selon $h=CD$ et $r=CB$, est $V={\pi\over 6} h(3 r^2+h^2).$ On retrouve la demi sphère avec $h=r.$

marsup · February 2021

Peut-être que nos aïeux avaient construit leur tumulus selon une paraboloïde de révolution dont l'équation est $z = h \cdot \big(1 - \frac{x^2+y^2}{r^2} \big)$.

Dans ce cas, le volume de terre pour $h=r=1$ donne $V(h=1,r=1) = \iint z dx dy = \iint (1-\rho^2) \rho d\rho d\theta = \pi$.

Donc pour le cas général, par homogénéité, on trouve $V(h,r) = \pi \cdot h \cdot r^2$.

Comme ça, on voit que, à volume constant, si le rayon du tumulus est multiplié par $\frac{95}{31}$, la hauteur est multipliée par $\big(\frac{31}{95}\big)^2\approx 0,1065$.

Pour arriver à une hauteur de 0,55 m, on est donc parti d'une hauteur de $0,55/0,1065 \approx 5,165$ mètres !

Loki68 · February 2021

Merci beaucoup ! le résultat est tout à fait plausible mais j'avoue n'avoir pas tout compris à votre démonstration.
Mais c'est le résultat qui compte.

marsup · February 2021

Peu importe le détail du calcul, le raisonnement est comme suit.

Le volume d'une forme à symétrie de rotation est proportionnel à h x r^2 ( hauteur fois rayon au carré)

La constante de proportionnalité dépend de la forme.

Il est permis de penser que si la forme de départ n'était pas trop compliquée (comme un tumulus) la forme d'arrivée devrait avoir une constante de proportionnalité proche.

On obtient ainsi la règle h inversement proportionnelle à r^2.

(Si on multiplie le rayon par 3, on divise la hauteur par 9)