Les tables trigonométriques
dans Géométrie
Bonjour.
Comment le tableau trigonométrique a été rempli soigneusement.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Comment le tableau trigonométrique a été rempli soigneusement.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
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Réponses
Celui avec des valeurs dites « remarquables » ?
Qui sont usuellement : $\pi/2$, $\pi/3$ etc.
Est-ce autre chose ?
une première idée pour la première ligne : 0, 1, 2, 4
Sincèrement
Jean-Louis
Exemple.
Sin(1°) ; Sin(2°) ; Sin(3°) ...............................................etc.
.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Et on peut toujours ramener un angle à une valeur comprise entre 0 et pi/4 par d'autres formules .
Les « abaques » ?
Comme dit plus haut, des D.L. donnent de bonnes approximations.
Remarque : les séries entières étant alternées on a un contrôle du reste facilement disponible.
Là où le D.L. est un « il existe », le D.S.E. est plus précis.
pour la seconde ligne, considérer les racines carrées des nombres de la première ligne
Sincèrement
Jean-Louis
y découpe un arc dont la corde mesure $\sin\alpha$ .
Les côtés de mon triangle jaune mesurent donc
$\sin\alpha$ , $\sin\beta$ et $\sin(\alpha+\beta)$ .
Les deux autres côtés du quadrilatère inscrit mesurent
$\cos\alpha$ et $\cos\beta$ .
Le Théorème des Cordes, que nous attribuons à Ptolémée,
était connu des Chaldéens (à vérifier?). Il se lit ici
$$
\sin(\alpha+\beta)\times 1 = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha
$$
ce qui aide sans doute à remplir la table de Djellul...
Cette question se rencontrait au bac il y a quelques dizaines d'années.
A+
pour terminer, la troisième ligne consiste à diviser par 2 les nombre de la ligne précédente ;
nous obtenons les sinus de 0°, 30°, 45°, 60°...
Les lignes suivantes conduisent par symétrie aux cos, tan, et cotan...
Sincèrement
Jean-Louis
la question est la construction des tables de degré en degré. Pas le tableau des valeurs exactes élémentaires.
Cordialement.
pour ma part, la question posée n'est pas claire...alors, j'ai en donnée une réponse au niveau lycée...
Sincèrement
Jean-Louis
On commence par le sinus de l'arc d'une minute :
\begin{align*}
\sin(1') &\approx \frac{2\pi}{60\times 360 }=0,00029088\ldots &\text{puis} \\
\cos(1')&=\sqrt{1-\sin(1')^2}.
\end{align*} Ensuite on utilise les formules ($n$ désigne un nombre entier quelconque) :
\begin{align*}
\sin((n+1)')&=\sin(n') \times 2\cos(1')-\sin((n-1)') &\text{et }\\
\cos((n+1)')&=\cos(n') \times 2\cos(1')-\cos((n-1)').
\end{align*} On s'arrêtera bien sûr à $45°$.
En fait, on peut s'arrêter à 15° pour lequel on a une valeur exacte, et qui permettra de rectifier les éventuelles erreurs. Il y a aussi de nombreuses techniques de calcul approché qui ont été inventées pour simplifier le travail, mais obsolètes aujourd'hui avec les moyens actuels de calcul.
Cordialement
Vraiment ? Quand Ludwig dit de s'arrêter à 45°, c'est parce que le reste est déterminé par symétrie(s), sans aucun calcul. Mais avec ton 15°, comment détermines-tu le sinus de 27° sans aucun calcul ?
Le problème est que les erreurs de calcul peuvent s'accumuler, donc plus loin on ajoute degré par degré, plus on risque d'avoir des erreurs.
Il faut reconnaître que déterminer les tables trigonométriques se faisait très rarement, les quelques calculateur qui le faisaient y passant pas mal de temps, en particulier en vérification. En Europe, les tables de Rhéticus, généralisant des travaux antérieurs sont utilisées au milieu du XVIe siècle. Très vite, on a des tables de minute en minute, puis de seconde en seconde. Et se combinent avec les tables de logarithmes, utilisées en lycée jusque vers 1980.
Plutôt que faire minute par minute, j'avais plus dans l'idée de couper à travers champ par les puissances de 2.
$\sin(2x)=2\sin(x)\sqrt{1-\sin^2(x)}$.
@ gerard0 : je ne suis pas sûr que ton astuce soit une bonne idée, car du coup tu as deux multiplications. Dans mes deux formules il y a un terme constant ($2\cos(1')$), et une seule multiplication. La soustraction pas de problème.
Les calculs que je propose ne mettent pas en cause ce que tu fais, jusqu'à la valeur 3°45' qui sert à vérifier la précision des valeurs obtenues. Mais inutile de continuer à travailler de minute en minute en accumulant les erreurs éventuellement, on travaille avec des valeurs bien établies (et avec plus de décimales que nécessaire, puisqu'on n'en a calculé que peu) pour obtenir les suivantes. Et comme les décompositions sont multiples, on peut vérifier la qualité des approximations.
D'autres méthodes sont possibles, par exemple en utilisant des décompositions des angles en sommes de $\frac{30°}{2^n}$ pour lesquelles on a des valeurs exactes, donc des approximations aussi précises que nécessaire.
Cordialement.
L'angle est approché par une dichotomie en se servant des $\gamma_i$, dans une comparaison après une addition ou une soustraction, pour savoir de quel coté continuer à l'itération suivante. À chaque itération on calcule un vecteur colinéaire à celui de coordonnées constituées du cosinus et sinus, avec une addition, une soustraction et deux décalages de bit, à la fin on multiplie par un élément $K(n)$ compris entre 0,6 et 0,71 mémorisé "en dur" pour avoir le couple cosinus, sinus. Il y a besoin de peu d'itérations du fait de la dichotomie et c'est peu couteux à chaque étape.
L'implémentation effective date de 1970, sur la base de travaux de 1959.
A4: =B3
B4: =2*A4*RACINE(1-A4*A4)
C4: =2*C3
D4: =QUOTIENT(C4;60)
E4: =C4-60*D4
F4: =C4*$A$1
G4: =F4-B4
I4: =SIN(2*(D4+E4/60)*PI()/360)
J4: =SIN(F4)
Diagramme avec axe x à échelle logarithmique.
L'algorithme Cordic utilise des tables de valeurs, donc ne peut pas servir à les construire.
Cordialement.
D'accord avec Gerard0, les tables trigonométriques ont plusieurs siècles d'existence, quand la Marine a dû se professionnaliser sous la pression des concurrences étatiques (Espagne, Pays-bas et Angleterre notamment) alors que Cordic a été implémenté suite à la nécessité, pour l'Aviation, de disposer d'un moyen de détermination des caps suffisamment rapide pour être utile dans ce cas.
L'Aviation a été, dans l'absolu, très postérieure à la Marine dans son application pratique.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Cordialement.
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Et je pense à une chose : aujourd'hui la mémoire ce n'est plus un problème. Alors, pourquoi ne pas stocker TOUS les résultats pour TOUTES les fonctions usuelles appliquées à TOUS les nombres que l'on puisse entrer dans une calculatrice ? Pas sûr que ce soit si énorme que ça, évidemment on utiliserait au mieux les formules relatives aux fonctions pour ne stocker que l'essentiel. Je dirais qu'il y a grosso modo $10^{100}$ chiffres à stocker, pas plus. Le résultat serait donc toujours instantané, la calculatrice allant chercher le résultat dans la base de données au fur et à mesure que l'utilisateur entre le calcul à faire. Resterait uniquement les quatre opérations de base. Les calculatrices vues comme des tables logarithmiques modernisées en somme.
Le fait de stocker une grande quantité de constantes dans une "base de données " pose au moins la question, au-delà du stockage pratiquement inutile d'une grande quantité d'informations redondantes, de la méthode la plus efficace pour y retrouver l'information voulue, ce qui n'est pas évident (les primitives de recherche en bases de données ne sont pas particulièrement efficaces).
À bientôt.
Edit : pour Cordic, une des implémentations permet d'effectuer une multiplication simple, le désavantage étant que le facteur multiplicateur doit être $<2$ en valeur absolue, ce qui limite son application.
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Oh ben oui, :-D, pas plus. On se rapproche du nombre de Shannon, qui est le nombre de parties d'échecs possibles. C'est énormissime.
Et pour achever de se convaincre du caractère inabordable, faisons le calcul. Imaginons qu'on consacre 4 octets par sinus. On devra avoir une mémoire de :
$Q = 4\times 10^{100}$
$Q = 4\times 10^{3*33+1}$
$Q = 40\times (10^3)^{33}$
$Q \approx 40\times (2^{10})^{33}$
On rappelle :
210 octets = 1 kilo-octet
220 octets = 1 méga-octet
230 octets = 1 giga-octet
(...)
280 octets = 1 yotta-octet
Donc si on empile comme les milliards de milliards, il faudra, juste, une mémoire de 40 kilo-yotta-yotta-yotta-yotta-octets.
Prévoir de gros bâtiments pour le centre de données. X:-(
@Math Coss : dans l’Univers observable. La différence est notable. Si l’Univers est ouvert (plat ou hyperbolique), alors il est infini et son contenu aussi. S’il est sphérique et fini, alors on a montré qu’il est au moins 250 fois plus gros (en diamètre) que l’Univers observable.
Les plus grands nombres que j’ai vus dans le cadre de la physique sont les estimations de la fin de l’Univers (en secondes). On combine l’expansion et la physique des particules et on se demande quelle est l’évolution ultime des astres, des atomes et des particules.
Il existe plusieurs théories spéculatives mais pas connes.
On trouve de mémoire un $10^{10^{26}}$... mais c’est à vérifier. C’est que les atomes les plus stables (de fer) forment des astres et qu’il prend un sacré temps à une particule pour le traverser.
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D'après ce que j'ai compris, les calculs se faisaient sur les révolutions synodiques, ce qui à mon sens tend à montrer que les concepteurs de cette machine avaient une vision géocentrique de l'astronomie (mais ils ont inventé tant de choses qu'on peut bien leur pardonner cela).
Ils avaient beau avoir de drôles de mœurs, ils avaient vraiment déjà tout inventé.
Cordialement.
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