Flocon de Von Koch
Bonsoir,
Je m'intéresse au Flocon de Von Koch dont j'ai commencé la construction sur géogébra, mais j'ai dû arrêter au bout de la troisième itération tellement ça devenait invisible. J'aimerais trouver une formule pour calculer l'aire de ma figure de façon explicite, trouver l'aire de la première figure était très simple: j'appelle le côté de mon triangle "c", ce qui donne a0= (sqrt(3)/4)*c^2. Je pensais calculer l'aire de chaque triangle sachant que leur côté est divisé par trois à chaque itération et que le nombre de côté était multiplié par quatre à chaque itération. En espérant trouver une relation de récurrence entre a0 et a1, je ne sais pas si je suis sur la bonne piste.
Cordialement.
Je m'intéresse au Flocon de Von Koch dont j'ai commencé la construction sur géogébra, mais j'ai dû arrêter au bout de la troisième itération tellement ça devenait invisible. J'aimerais trouver une formule pour calculer l'aire de ma figure de façon explicite, trouver l'aire de la première figure était très simple: j'appelle le côté de mon triangle "c", ce qui donne a0= (sqrt(3)/4)*c^2. Je pensais calculer l'aire de chaque triangle sachant que leur côté est divisé par trois à chaque itération et que le nombre de côté était multiplié par quatre à chaque itération. En espérant trouver une relation de récurrence entre a0 et a1, je ne sais pas si je suis sur la bonne piste.
Cordialement.
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Réponses
Conseil : travaille aussi le périmètre.
On a ici une suite de formes géométriques dont le périmètre a une longueur qui tend vers l’infini et dont l’aire croît mais est bornée.
De mémoire il s’agit de suites géométriques et de leurs sommes.
Il m'a fallu 10 jours pour y parvenir, j'en ai vraiment bavé.
Partant de ton triangle initial, tu rajoutes 3 petits triangles de côté 3 fois plus petit. Si a est l'aire de ton triangle initial (facile à calculer à partir de c, l'aire que tu obtiens est donc a+3*(a/9) = 4/3 a. Puis tu recommences : Combien de côtés ? l'aire des nouveaux triangles ? donc à la troisième étape, l'aire totale est ...
Voila, commence par bien regarder ce qui se passe à chaque étape : Nombre de côtés, donc de nouveaux triangle, longueur des côtés des nouveaux triangles, aire de ces triangles, ajout à l'aire précédente.
Bon travail personnel !