Cercles dans triangle
Bonjour,
Pierre Daniel me propose de publier ce qui suit.
Dans la lettre qu'il m'avait écrite en 1991, André Viricel me demandait si la propriété suivante qu'il venait de découvrir était connue.
Pierre Daniel me propose de publier ce qui suit.
Dans la lettre qu'il m'avait écrite en 1991, André Viricel me demandait si la propriété suivante qu'il venait de découvrir était connue.
"Étant donnés le cercle circonscrit à un triangle et un ex-inscrit, les extrémités du diamètre de ce dernier, perpendiculaire à la ligne des centres, sont centres de deux cercles tangents entre eux et tangents au cercle circonscrit".
Réponses
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Voici une figure.
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Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
C'est tout simplement la relation d'Euler (inconnue au bataillon!):
$$OI_A^2=R^2+2Rr_A\qquad$$
mâtinée de la moitié de notre programme de géométrie, i.e: l'axiome de Pythagore!
$$OI_A^2+r_A^2=(R+r_A)^2\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir pappus,
On a : $2Rr_A = \dfrac{2Rrs}{s-a}=\dfrac{abc}{2(s-a)}= \dfrac{abc}{-a+b+c}=OI_A^2-R^2.$
Donc $OI_A^2 = R^2 +2Rr_A.$
Amicalement -
Merci Bouzar
Autrefois on se servait de la formule évaluant la différence des puissances d'un point par rapport à deux cercles.
Aujourd'hui, comme il ne nous reste plus que le cercle trigonométrique, il est devenu très difficile de l'appliquer!
Exit les relations d'Euler. on peut vivre sans!
Elles n'ont aucune importance!
Amicalement -
Voici une preuve plus élémentaire.
On a :
$(OI_A+R)(OI_A-R) = I_AS' \times I_AS =A I_A \times RI_A = A I_A \times RC = \dfrac{ PI_A \times RR' }{ RC } \times RC = r_A \times 2R.$
On en tire : $OI_A^2 = R^2 + r_A \times 2R.$
Amicalement -
Un petit complément.
On a :
$OI_A^2 = R^2 + r_A \times 2R \iff 2Rr_A = OI_A^2 -R^2 \iff (R+OI_A)r_A+(R-OI_A)r_A=(OI_A-R)(OI_A+R)$
Une division des deux membres par $(OI_A-R)(OI_A+R)r_A$ conduit à :
$\dfrac{1}{OI_A-R}-\dfrac{1}{OI_A+R} = \dfrac{1}{r_A}.$
Amicalement -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2191140,2191242#msg-2191242
"Exit les relations d'Euler. on peut vivre sans!
Elles n'ont aucune importance! "
pas complètement..
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'Euler_(triangle)
Que je vais retravailler... -
Merci Robert de rappeler la mémoire de notre vieil ami André Viricel (1913-2003).
-
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2191140,2191236#msg-2191236
Bonjour : peux-tu détailler $ \dfrac{abc}{-a+b+c}=OI_A^2-R^2$, merci ! -
Mon cher Robert
Pourquoi n'as-tu pas le Lebossé-Hémery dans ta bibliothèque?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2191140,2191250#msg-2191250
Bouzar écrivait:
>Un petit complément.
> On a :$\dfrac{1}{R-OI_A}+\dfrac{1}{R+OI_A} =
\dfrac{1}{r_A}.$
ou plutôt $\quad\displaystyle \frac{1}{OI_A-R} - \frac{1}{OI_A+R} = \frac{1}{r_A}$ ? -
Bonsoir,
Oui effectivement, désolé j'ai corrigé.
Amicalement -
C'est toujours avec grand plaisir que je retrouve dans les messages de pappus la typographie rassurante de mon Lebossé-Hémery que j'ai depuis soixante ans.
-
pappus écrivait:
> Mon cher Robert
> Pourquoi n'as-tu pas le Lebossé-Hémery dans ta bibliothèque?
> Amicalement
Car je suis en Normandie...
Et je ne l'ai toujours pas trouvé en PDF...
mais http://www.numdam.org/article/NAM_1914_4_14__366_1.pdf fait à peu près pareil en faisant d'un coup l'inscrit et l'exinscrit : joli !
et n'ayant pas eu de réponse à $ \dfrac{abc}{-a+b+c}=OI_A^2-R^2$ (dont j'espérai en tirer par analogie $ \dfrac{abc}{a+b+c}=OI^2-R^2$ ) et aimant les calculs , j'ai rédigé https://fr.wikipedia.org/wiki/Relations_d'Euler_dans_le_triangle#Deuxième_démonstration_(calculatoire) -
Bonjour,
Je me suis dit que le théorème de Viricel devait avoir son équivalent pour le cercle inscrit.
Ce qui a donné la figure ci-dessous.
X est une extrémité d'un diamètre du cercle inscrit perpendiculaire à (OI).
la demi-droite OX coupe le cercle circonscrit en Y.
Si on démontrait simplement que le triangle IXY est isocèle, on aurait une démonstration de la relation d'Euler rapide, sans puissance par rapport à un cercle and co ?
En effet, on aurait $OY^2 = (R-r)^2=d^2+r^2$.
Pour ce post, je demande l'indulgence de Pappus. -
Mon cher Robert
Pourquoi parles-tu au conditionnel plutôt qu'au présent de l'indicatif?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2191140,2194376#msg-2194376
Merci de me rassurer avec de l'indicatif, mais je donne toujours ma langue au chat pour IXY isocèle...
Par contre , j'ai reproduit la belle démonstration de Lebossé H dans wikipedia
https://fr.wikipedia.org/wiki/Relations_d'Euler_dans_le_triangle#Première_démonstration_géométrique -
Bonsoir à tous,La dernière question de Robert (le triangle $IXY$ est-il isocèle ?) étant restée sans réponse à ce jour, je me permets de faire remonter cette discussion ...Bien cordialement JLB
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Bonjour!
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