Rotation

L'ensemble de ses points fixes est l'axe de rotation dont le plan orthogonal est stable (fais un dessin) Il y a aussi les symétries orthogonales par rapport à un plan quand l'ensemble des points fixes est un plan. (Il faut trouver les espaces propres)

Bonjour,
Utiliser les quaternions pour aborder cette question me paraissait a priori être une bonne idée, mais n'y connaissant pas grand-chose, j'ai dû traverser quelques calculs laborieux. Quelques notations pour commencer:

$ (i,j,k)$ est la base orthonormée canonique de $\R^3$ euclidien.
$\mathcal R_i ,\mathcal R_j,\mathcal R_k$ désignent respectivement les sous-groupes de $\mathcal O_3^+(\R)$ formés par rotations d'axes $i,j,k.$
$\mathbb H =\R \oplus \R\mathbf i \oplus \R\mathbf j \oplus \R\mathbf k$ est le "corps des quaternions",$\quad \forall q \in \mathbb H, \:\: |q| := \sqrt {q\overline q}.$
$ \mathcal Q$ est le sous-espace de $\mathbb H$ défini par $\mathcal Q=\text{Vect}_{\R} (\mathbf i ,\mathbf j,\mathbf k),\:\:\:\: \mathcal N:= \{q\in \mathbb H: \: q\overline q = 1 \}, \:\:\: S_1=\{(x,y) \in \R^2: x^2+y^2 = 1 \}.$

Ce qui suit fournit une décomposition explicite de tout élément de $\mathcal O^+_3(\R)$ en un produit de trois éléments de $\{\mathcal R_i, \mathcal R_j,\mathcal R_k\}.$


Il est plus ou moins connu que: $\forall q \in \mathcal N, \:\: \exists \theta , a,b,c \in \R $ tels que $q = \cos \left(\frac {\theta}2 \right) + \sin \left(\frac {\theta}2 \right) \Big (a\mathbf i +b\mathbf j +c\mathbf k \Big),$
et que l'application $\mathcal Q\to \mathcal Q,\:\: x \mapsto q x \overline q$ définit sur $\mathcal Q$ (identifié à $\R^3$ euclidien) la rotation $\:\:\:R(q) \:\text{ d'angle}\:\theta \:\text{et d'axe}\: ai+bj+ ck.\:\:$ Alors
$$\forall q,q' \in \mathcal N, \:\: R(qq') = R(q) \circ R(q'), \\
\mathcal R_i =\left \{ R(x+y\mathbf i ): (x,y) \in S_1 \right \},\: \: \mathcal R_j =\left \{ R(x+y\mathbf j): (x,y) \in S_1 \right \},\:\: \mathcal R_k=\left \{ R(x+y\mathbf k ): (x,y) \in S_1 \right \}.$$
Soient $R(q)$ un élément quelconque de $\mathcal O_3^+(\R), \quad q = a +b\mathbf i +c\mathbf j +d\mathbf k \in \mathcal N.\:\:\: a,b,c,d \in \R\:\:$ et
$$ P(X,Y) := (ab -cd)X^2 +(-a^2+b^2+c^2-d^2)XY -(ab-cd)Y^2 \in \R[X,Y].$$
L'équation $P(x,y) =0$ admet (au moins) une solution $(x,y)$ dans $\R^2\setminus\{(0,0)\}. $
Soit $(x,y)$ l'une d'entre elles. Alors $\quad (ax+by)(bx-ay) = (cx+dy)(dx-cy).\quad (\star)$

Soient $s= ax+by; \quad t= cx+dy;\quad u = ax+by; \quad v= dx -cy, \qquad \boxed{q_1=x+y\mathbf i; \quad q_2=s+t\mathbf j; \quad q_3=u+v\mathbf k.}\quad $Alors, on vérifie avec $(\star)$ que $\:\:q_1 q_2 q_3 = (ax+by)(x^2+y^2) q = kq \:\:\text{avec}\:\: k\in \R\:\: $ de sorte que:
$\bullet\:\:\text{ si}\quad\underline{ ax+by \neq 0},\quad $ alors avec $\quad \widehat q_i :=\dfrac {q_i}{|q_i|}, \:\: $ on obtient: $\widehat q_1\widehat q_2\widehat q_3 = \pm q\:\:$ puis: $ \qquad \boxed{R(q)= R(\widehat q_1) \circ R(\widehat q_2) \circ R(\widehat q_3) .}$
$\bullet\:\:\text{ si}\quad\underline{ ax+by = 0},\quad $Alors $(\star) \implies (ad-bc=0)\:\text{ou}\:(\:ac+bd=0)\implies bq =(a+b\mathbf i)(b+d\mathbf j)\:\:\text{ou}\: \:bq= (a+b\mathbf i)(b-d\mathbf k).\quad$
Dans les deux cas:$\quad \boxed {R(q) = \rho_1 \circ \rho_2}, \quad(\rho_1,\rho_2) \in \mathcal R_i\times \mathcal R_j\: \:\text{ou}\:\:(\rho_ 1, \rho_2) \in \mathcal R_i\times \mathcal R_k.$