Une symédiane

% Jean-Louis Ayme - 02 Mars 2021 - Une symédiane

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% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre O et carré R^2 du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC

o=2*s1*s3/(s1*s2-s3);
oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);
R2=4/(1-s1*s1B)^2;

% Pied D de la A-bissectrice intérieure

d=2*s3/(u^2+v*w);
dB=2*s3B/(uB^2+vB*wB);

% Un point P de (AD)

syms t real

p=t*a;
pB=t*aB;

% Droite (BP)

[pbp qbp rbp]=DroiteDeuxPoints(b,p,bB,pB);

% Point E où cette droite recoupe le cercle ABC

syms e

eB=-(pbp*e+rbp)/qbp;

Nule=Factor((e-o)*(eB-oB)-R2);
Nule=numden(Factor(Nule/(e-b)));
pole=coeffs(Nule,e,'All');
e=Factor(-pole(2)/pole(1))

% On trouve:

e=2*v*w*((u^2+u*(v+w)-v^2)*t - u*(v+w))/((u+v)*(v+w)*((u+w)*t-(v+w)));
eB=2*vB*wB*((uB^2+uB*(vB+wB)-vB^2)*t - uB*(vB+wB))/((uB+vB)*(vB+wB)*((uB+wB)*t-(vB+wB)));

% De même, pour F point d'intersection de la droite (CP) et du cercle ABC

f=2*v*w*((u^2+u*(v+w)-w^2)*t - u*(v+w))/((u+w)*(v+w)*((u+v)*t-(v+w)));
fB=2*vB*wB*((uB^2+uB*(vB+wB)-wB^2)*t - uB*(vB+wB))/((uB+wB)*(vB+wB)*((uB+vB)*t-(vB+wB)));

% Point D'intersection M des droites (BP) et (AC)

[m mB]=IntersectionDeuxDroites(pbp,qbp,rbp,1,v^2,-2*v);

m=Factor(m)
mB=Factor(mB)

% On trouve:

m = 2*v*w*(u*(v+w) + t*(v^2-2*u*v-v*w))/((v+w)*(u*w + v^2 - t*v*(u+w)))
mB = 2*(v*(v+w) - t*(u*v-u*w+2*v*w))/((v+w)*(u*w+v^2 -t*v*(u+w)))

% De même, pour le point d'intersection N des droites (CP) et (AB)

n = 2*v*w*(u*(v+w) + t*(w^2-2*u*w-v*w))/((v+w)*(u*v + w^2 - t*w*(u+v)))
nB = 2*(w*(v+w) - t*(u*w-u*v+2*v*w))/((v+w)*(u*v+w^2 -t*w*(u+v)))

% Point d'intersection J des droites (EN) et (FM)

[pen qen ren]=DroiteDeuxPoints(e,n,eB,nB);
[pfm qfm rfm]=DroiteDeuxPoints(f,m,fB,mB);

[j jB]=IntersectionDeuxDroites(pen,qen,ren,pfm,qfm,rfm);

j=Factor(j)
jB=Factor(jB)

% Point de Lemoine K du triangle PEF

[k kB]=PointDeLemoine(p,e,f,pB,eB,fB);

k=Factor(k)
kB=Factor(kB)

% J est sur la symédiane (PK) du triangle PEF

Mat=[p pB 1; j jB 1; k kB 1];
Nul=Factor(det(Mat)) % Égal à 0, donc c'est gagné