1 triangle, 3 cercles, 2 coniques
dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Je vous propose l'étude de la configuration suivante :
Soit un triplet de droites concourantes deux à deux, formant un triangle.
Trois cercles de même rayon, centrés sur les sommets du triangle, coupent les trois droites en douze points.
Quand le rayon des cercles est assez petit, par exemple inférieur à la moitié du plus petit des côtés du triangle, les douze points se répartissent en deux séries de six, l'une dont les points se trouvent sur les côtés du triangle, l'autre dont les points se trouvent sur les prolongements des côtés du triangle, et ces deux groupes de six points définissent deux ellipses homothétiques (première figure) : rien de bien surprenant, sans doute, pour les aigles en géométrie de ce forum !
Moi, cela ne me surprend plus, mais je ne me l'explique toujours pas !
Je tiens tout de même à signaler deux choses qui méritent, à mon humble avis, une certaine attention : lorsque le rayon des cercles tend vers zéro, les deux ellipses n'en font plus qu'une (deuxième figure) : bon, mais moi, je m'attendais, naïvement, à retrouver le cercle circonscrit ... Et donc je me dis que cette ellipse limite a dû être repérée depuis très longtemps, et probablement baptisée ?
Et puis, quand la longueur du rayon des cercles atteint presque celle du plus petit des côtés du triangle, on voit apparaître une hyperbole, en lieu et place de l'ellipse intérieure (troisième figure) : existe-t-il une formule reliant la valeur du rayon limite, à laquelle se produit ce phénomène, à celle ou celles d'élément(s) du triangle ?
Merci de votre intérêt pour cette petite chose !
JLB
Je vous propose l'étude de la configuration suivante :
Soit un triplet de droites concourantes deux à deux, formant un triangle.
Trois cercles de même rayon, centrés sur les sommets du triangle, coupent les trois droites en douze points.
Quand le rayon des cercles est assez petit, par exemple inférieur à la moitié du plus petit des côtés du triangle, les douze points se répartissent en deux séries de six, l'une dont les points se trouvent sur les côtés du triangle, l'autre dont les points se trouvent sur les prolongements des côtés du triangle, et ces deux groupes de six points définissent deux ellipses homothétiques (première figure) : rien de bien surprenant, sans doute, pour les aigles en géométrie de ce forum !
Moi, cela ne me surprend plus, mais je ne me l'explique toujours pas !
Je tiens tout de même à signaler deux choses qui méritent, à mon humble avis, une certaine attention : lorsque le rayon des cercles tend vers zéro, les deux ellipses n'en font plus qu'une (deuxième figure) : bon, mais moi, je m'attendais, naïvement, à retrouver le cercle circonscrit ... Et donc je me dis que cette ellipse limite a dû être repérée depuis très longtemps, et probablement baptisée ?
Et puis, quand la longueur du rayon des cercles atteint presque celle du plus petit des côtés du triangle, on voit apparaître une hyperbole, en lieu et place de l'ellipse intérieure (troisième figure) : existe-t-il une formule reliant la valeur du rayon limite, à laquelle se produit ce phénomène, à celle ou celles d'élément(s) du triangle ?
Merci de votre intérêt pour cette petite chose !
JLB
Réponses
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Bonne Nuit Jelobreuil
La conique limite est la conique circonscrite au triangle $ABC$ de perspecteur $I$, le centre du cercle inscrit. Il se trouve que c'est une ellipse dont le nom si elle en a un, n'a strictement aucune importance.
Sais-tu au moins prouver l'existence de ces deux coniques dont tu prends la limite?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci, cher Pappus !
Il est vrai que j'aurais dû réaliser que la construction de ma figure, avec des couples de points équidistants des sommets sur chaque côté, ainsi que sur les prolongement de ces côtés, accordait un rôle plus que certain aux bissectrices, tant intérieures qu'extérieures, et donc aux quatre centres I, IA, IB et IC ... Mais bon, je n'ai pas tes réflexes !
Comment définis-tu le perspecteur d'une conique ? Je connais ce terme pour deux triangles en perspective, mais pas pour une conique ...
Et pour répondre à ta question : non, je ne sais pas !
Bien amicalement
JLB -
Mon cher Jelobreuil
J'aime bien te voir partir à l'aventure manipulant des objets géométriques dont tu n'es même pas sûr de l'existence puis prendre froidement leur limite sans trop savoir ce qu'est une limite (de coniques).
Il me faudrait te dérouler la théorie des coniques projectives, disparue dans la nuit brune depuis belle lurette pour t'expliquer ce qu'est un perspecteur (affreux néologisme auquel je ne m'habitue pas!).
Alors à quoi bon?
Continue de nous faire rêver avec tes configurations souvent surprenantes.
La géométrie est avant tout le plaisir des yeux!
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour, Pappus,
Oui, comme tu le dis, je pars à l'aventure,
Explorer des contrées qui me sont inconnues,
Dans l'espoir d'y trouver, sur certaines figures,
Quelque point, quelque ligne encore méconnue !
Je sais bien n'avoir pas les bases théoriques
Qui me permettraient de comprendre ma pratique ...
Mais j'éprouve, en cette recherche de coniques,
Une profonde joie, vraiment géométrique !
Bon, ça va comme ça, assez de mirlitonneries ! Pour ce qui est de "ma" configuration, n'a-t-elle pas certaine allure d'isotomie ?
Bonne journée, bien amicalement
JLB -
Merci Jelobreuil
Je ne sais pas s'il y a de l'isotomie mais surtout continue à nous envoyer de belles figures.
Alors personne pour nous dire pourquoi les deux coniques de Jelobreuil existent?
Pourquoi ce devrait être toujours moi à m'y coller?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Ça ressemble à l'ellipse de Steiner du triangle exinscrit et des homothétiques d'icelle.
Ces ellipses passent par les six barycentres de la forme $\{(I_A,\alpha),(I_B,\beta),(I_C,\gamma)\} et ceux obtenus par permutation des poids. Vu que les coordonnées barycentriques des centres des cercles inscrit et exinscrits sont proportionnelles aux longueurs des côtés (avec un signe négatif pour les exinscrits), il doit y avoir moyen de le montrer. -
Bonjour Math Coss,
Merci d'intervenir dans cette discussion !
En effet, mais dans le triangle de Bevan, l'ellipse "limite" que Pappus a tracé en tireté épais n'est pas l'ellipse de Steiner, puisque les points de tangence aux côtés ne sont pas les milieux de ceux-ci, mais les pieds des hauteurs ...
bien cordialement
JLB -
Très juste !
-
Bonsoir à tous,
Une question inspirée par la remarque de Math Coss : de même que l'ellipse de Steiner d'un triangle est définie comme l'ellipse inscrite tangente aux trois côtés en leurs milieux respectifs, peut-on en général définir une conique en se donnant trois droites sécantes deux à deux et un point de tangence sur chacune de ces droites ?
Si oui, l'ellipse "limite" serait donc l'ellipse inscrite dans le triangle de Bevan IAIBIC et tangente aux côtés de ce triangle (bissectrices extérieures de ABC) en les pieds des hauteurs (bissectrices intérieures de ABC).
JLB -
Bonne nuit à tous
Toujours dans la même veine : une autre ellipse apparait, sur laquelle se trouve six des points d'intersection des segments reliant les milieux d'un côté du triangle de départ aux points d'intersection du cercle centré sur le sommet opposé au côté considéré avec les deux autres côtés ; plus précisément, les six points d'intersection des deux segments partant du milieu d'un côté avec les deux segments aboutissant aux deux intersections situées sur le même côté ...
Bien cordialement
JLB
PS : comme le montre la deuxième figure, il ne s'agit pas d'une propriété générale d'un hexagone quelconque ... Alors, qu'est-ce qui rend cette configuration particulière, sur ce point ? -
Bonjour
Je me demande si on pouvait fabriquer d'une manière analogue une ellipse qui convergerait vers le cercle circonscrit au triangle donné.
Ou alors, plutôt : n'obtient-on pas toujours la même ellipse limite, quelles que soient les façons dont les points d'intersection se rapprochent des sommets du triangle ? (en supposant que ces points soient bien sur une ellipse) -
Bonjour à tous
Une ellipse qui convergerait, diable.
Heureusement il y a le conditionnel !
C'est plus facile de vasouiller sur des limites de coniques qu'on n'a même pas définies que de prouver l'existence des deux coniques que Jelobreuil a utilisées !
C'est pourtant le minimum minimorum qu'on puisse demander !
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci AD
L'existence des deux coniques de Jelobreuil est un minuscule corollaire du théorème de géométrie affine suivant.
Soit $ABC$ un triangle du plan affine et $abc$ son triangle médial
La paire de points $(A',A'')$ sur le côté $BC$ a pour milieu $a$.
La paire de points $(B',B'')$ sur le côté $CA$ a pour milieu $b$.
La paire de points $(C',C'')$ sur le côté $AB$ a pour milieu $c$.
Alors les six points $(A',A'',B',B'', C',C'')$ sont situés sur une même conique.
J'ai fait la figure comme d'habitude!
Merci qui?
YaPluKa faire le baratin!
Mais aujourd'hui il est devenu si difficile de baratiner qu'il vaut mieux prendre l'existence des coniques de Jelobreuil comme un nouvel axiome. Ca n'en fait jamais qu'un de plus en bonne compagnie avec ceux de Thalès et de Pythagore.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci, Pappus, d'avoir remis "ma" configuration dans son cadre général !
Et en effet, elle n'est que le cas très particulier où, dans ta figure, les six segments AB", AC', BC", BA', CA" et CB' sont tous égaux ...
L'existence de "mes" coniques ne résulte-t-elle pas du théorème de Carnot (JDE, chapitre II, paragraphe 4.1) ? Je vais essayer de l'appliquer ...
D'autre part, un peu plus loin dans ce même paragraphe, J.-D. Eiden mentionne le cas où deux points d'une même paire sur l'une des trois droites sont confondus (il parle d' "égalité de points", et précise qu'alors la conique est tangente en ce point à la droite considérée, et qu'il peut y avoir "plus d'une égalité entre points des paires" : cela ne répond-il pas à la question que j'ai posée hier soir ?
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2195012,2196082,quote=1#REPLY
Bien amicalement
JLB
Edit : en effet, le théorème de Carnot est bien vérifié par les deux sextuplets de points résultant de l'intersection de trois cercles de même rayon, centrés aux sommets du triangle, avec les droites portant les côtés d'un triangle ... (je vais rédiger la chose en Word et en faire un pdf (ou un png si ce n'est pas trop long) pour un message ultérieur).
"Mes" coniques existent donc bel et bien ! Quant au passage à la limite, n'est-il pas justifié si l'on considère non plus le triangle ABC, mais son triangle de Bevan ? Voir la première figure de Pappus dans ce fil. -
Mon cher Jelobreuil
Bravo de connaitre le théorème de Carnot, l'organisateur de la Victoire!
Effectivement on peut appliquer le théorème de Carnot qui est au degré 2, ce que le théorème de Ménélaüs est au degré 1.
La démonstration que j'ai en tête est basée sur un autre théorème plus fondamental, le théorème de Desargues!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci Pappus !
Ce théorème de Desargues, j'en ai déjà ouï dire, et je l'ai rencontré notamment sur le site de Jean-Louis Ayme, mais je crains bien d'être infoutu de l'appliquer ...
Voici le résultat de mes cogitations !
Bien amicalement
JLB -
Mon cher Jelobreuil
Tu sais appliquer le théorème de Carnot, pourquoi pas celui de Desargues?
Ce théorème concerne l'ensemble des coniques passant par quatre points.
Sur ma figure, ces quatre points sont $(B',B'',C',C'').\qquad$
Le théorème de Desargues concerne l'ensemble $\mathcal F$ des coniques passant par ces quatre points.
On parle de faisceau de coniques.
On part d'un point $M$ quelconque appartenant à la droite $BC$ et on considère l'unique conique de $\mathcal F$ passant par $M$.
C'est tout simplement la conique passant par les cinq points $(B',B'',C',C'',M)$.
Cette conique recoupe la droite $BC$ en un point $M'$ et Desargues a montré que la correspondance $M\iff M'$ était homographique et involutive.
Desargues étant décédé en Octobre 1661, tu peux ainsi estimer la durée de vie de son théorème dans notre Belle France, Terre des Arts, des Armes et des Lois!
Environ 360 ans!
Peut-on parler chez nous de l'Ère Arguésienne?
En tout cas, on en est sorti maintenant!
Or de ce faisceau de coniques, on connait les trois coniques décomposées:
$(AB,AC)$, $(B'C',B''C'')$, $(B'C'', B''C')$.
Les deux dernières paires sont formées de droites isotomiques dans le triangle $ABC$.
Encore faut-il savoir ce que cela veut dire!
Tant pis pour les ignorants! Vae Victis!
En prenant leurs intersections avec la droite $BC$, on obtient les trois paires de points:
$(B,C)$, $(a_2,a'_2)$, $(a_1,a'_1)$.
Comme ces trois paires sont invariantes par la symétrie centrale de centre $a$, on en déduit que cette fameuse involution de Desargues induite par intersection de ce faisceau de coniques avec la droite $BC$ est tout simplement la symétrie centrale de centre $a$.
$CQFD$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci Pappus,
Si je suis bien ta démonstration par le théorème de Desargues, en fait, ta dernière phrase revient à dire que toute conique appartenant audit faisceau coupe BC en deux points symétriques par rapport au milieu de BC. C'est bien ça ?
D'autre part, Desargues, en 1661, a-t-il vraiment parlé d'homographie et d'involution ?
Je t'avoue qu'avant de venir sur ce forum, je n'avais, je crois bien, jamais entendu parler de ces deux notions (du moins ne m'en souviens-je absolument pas !), et que même maintenant, elles restent tout à fait mystérieuses pour moi ...
Bien amicalement
JLB -
Oui Jelobreuil
C'est ce que j'ai montré grâce au théorème de Desargues qui est vraiment le gros théorème de la théorie des défuntes coniques.
Tu peux oublier l'involution sans remords puisque nos programmes n'en parlent plus, alors pourquoi te fatiguer?
Tout au plus doit-elle encore servir quelque part dans la psychologie de l'âme?
Par contre n'oublie pas de nous envoyer régulièrement de belles configurations!
Tu trouveras certainement un jour le point de Jelobreuil $X(31.415.926.535.897)$ à quelques unités près.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne nuit, Pappus,
Je crains bien que Carnot soit inopérant pour cette autre ellipse signalée un peu plus haut dans ce fil ... Que t'en semble ?
Desargues serait-il plus approprié ?
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2195012,2196116,quote=1#REPLY
Bien amicalement
JLB -
Bonjour ,
une autre ellipse :
les perpendiculaires abaissées des points de contact du cercle inscrit sur les côtés opposés se coupent en 12 points situés 6 par 6 sur deux ellipses . Il semblerait de plus que l'ellipse intérieure passe par le point de Feuerbach .
Cordialement -
Merci fm_31, de relancer cette discussion avec ces autres ellipses !
Comment justifies-tu leur existence ?
Bien cordialement
JLB -
Je ne suis pas de taille à justifier leur existence. Mais j'aimerais bien avoir confirmation que l'intérieur passe bien par le point de Feuerbach.
-
Bonjour,
fm_31, tes $6$ points sont bien sur une ellipse interne qui a pour équation, avec Morley inscrit:
$\overline{s_2}z^2+2z\overline{z}+s_2\overline{z}^2-(s_1\overline{s_2}+\overline{s_1})z-(\overline{s_1}s_2+s_1)\overline{z}+2(s_1\overline{s_1}-1)=0$
Et je confirme que le point de Feuerbach $X_{11}\left(\dfrac{s_2}{s_1}\right)$ est dessus.
Cordialement,
Rescassol
Edit; Le centre de cette ellipse est $X_{942}\left(\dfrac{s_1}{2}\right)$, c'est le centre du cercle d'Euler du triangle de contact du triangle $ABC$ avec son cercle inscrit. -
Merci, Rescassol !
Bien cordialement
JLB -
Bonsoir,
Les $6$ points externes sont sur l'ellipse d'équation
$T_1z^2+T_2z\overline{z}+T_3\overline{z}^2+T_4z+T_5\overline{z}+T_6=0$
avec:T1 = -s3*(s1^4 - 3*s1^2*s2 + 5*s3*s1 + s2^2) T2 = -2*s3*(s1^3*s3 - s1^2*s2^2 + s2^3 + 3*s3^2) T3 = -s3*(s1^2*s3^2 - 3*s1*s2^2*s3 + s2^4 + 5*s2*s3^2) T4 = s1^5*s3 - 2*s1^3*s2*s3 - s1^2*s2^3 + 5*s1^2*s3^2 + s1*s2^2*s3 + s2^4 + 3*s2*s3^2 T5 = s1^4*s3^2 - s1^3*s2^2*s3 + s1^2*s2*s3^2 - 2*s1*s2^3*s3 + 3*s1*s3^3 + s2^5 + 5*s2^2*s3^2 T6 = (s3 - s1*s2)*(3*s1^3*s3 - s1^2*s2^2 - 11*s1*s2*s3 + 3*s2^3 + 18*s3^2)
Le centre de cette ellipse est le même $X_{942}\left(\dfrac{s_1}{2}\right)$.
Cordialement,
Rescassol -
Les 2 coniques ci-dessus (interne et externe) de même centre sont construites à partir des pieds des céviennes liées au point de Gergonne.
La même construction avec des céviennes quelconques donne toujours une conique interne mais pas toujours une conique externe.
La conique interne construite à partir des céviennes liées au point de Nagel passe aussi par le point de Feuerbach.
De même pour la conique interne construite à partir des céviennes liées au centre de gravité mais dans ce cas la conique est le cercle d'Euler.
La question que je me pose sans avoir de réponse est : pour un triangle donné, quel est le lieu des points donnant (avec la même construction sur les céviennes liées à ces points) une conique passant par le point de Feuerbach ? Ce lieu passe par G, Ge et Na. Présente-t-il un quelconque intérêt ? Je ne sais.
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. ;-) AD] -
Bonjour,
Ludwig, regarde les trois segments pointillés verts de ma figure, sur ta figure, il y en a un qui est mal placé.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir à tous,
Voici une démonstration de l'existence des coniques de fm_31, par application des théorèmes de Carnot et de Thalès.
Comme le dit fm_31 dans son dernier message, on devrait trouver de telles coniques associées à d'autres points particuliers du triangle ABC, mais je me demande si ce n'est pas généralisable à tout triplet de paires de perpendiculaires aux trois côtés d'un triangle, ou au moins, à une certaine classe de tels triplets ...
Bien cordialement
JLB -
Merci Rescassol et jelobreuil pour ces preuves et démonstrations que je suis bien incapable d'apporter.
.
Autre ellipse construite de la même façon (intersections des orthogonales aux côtés opposés du triangle menées à partir des pieds de céviennes)
Ici les céviennes sont liées au point de Nagel (X8). Là aussi l'ellipse semble passer par le point de Feuerbach (X11) et son centre semble être à l'intersection des droites O-Mi (X9) et H-Na (X8)
En dehors de l'ellipse précédente liée au point de Gergonne (X7) et du cercle d'Euler , il ne semble pas y avoir d'autre conique liée aux céviennes d'un point répertorié du triangle passant par son point de Feuerbach. -
Bonsoir fm_31, bonsoir à tous,
fm_31, je ne sais pas comment comprendre ta dernière affirmation, car c'est un fait que si l'on part d'un triangle ABC et de trois couples de perpendiculaires quelconques à ses côtés, il y a toujours six de leurs douze intersections qui se trouvent sur une même conique, ce qui est facile à prouver de la même manière que je l'ai fait hier soir pour ton cas particulier ...
Je pense même que point n'est besoin d'un triangle et que la chose est vraie pour tout triplet de paires de parallèles, car finalement, le triangle ABC ne joue aucun rôle dans l'application du théorème de Carnot ...
Bien cordialement
JLB -
Oui ma dernière phrase était incomplète et j'ai corrigé .
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