Un quadrilatère ABCD est inscriptible dans un cercle de rayon R = 1.
Les longueurs des côtés AB = a, BC = b, CD = c et DA = d = 2 sont en progression géométrique.
Calculer les longueurs a, b, c .
Bien cordialement.
kolotoko
je confirme l'équation (E) : 3x3 + x2 + x - 1 = 0 .
r = 0,4693964245699946792019209673920...
Les formules de Cardan permettent d'en donner la valeur exacte.
On trouve les côtés a, b, c valant respectivement environ 0,64731905597 ; 0,938792849 ; 1,370250232 .
J'ai procédé différemment pour obtenir l'équation ci-dessus.
J'ai exprimé le rayon R d'un quadrilatère inscriptible en fonction des côtés a, b, c, d puis j'ai posé le fait que les côtés sont en progression géométrique et ensuite en écrivant R = 1 je suis arrivé à l'équation (E).
Oui, et il n'y en a pas d'autres. Car si la raison $r>1$ alors les diagonales ne peuvent pas être perpendiculaires.
Cela, peut-on l'expliquer sans calculer la raison ?
Bonjour Ludwig, Kolotoko, Zig, et tous
Ludwig, pour répondre à ta question : théorème de Ptolémée + "axiome" (;-) à Pappus) de Pythagore ? J'ai l'impression que ça devrait pouvoir marcher, en exprimant les longueurs des côtés en fonction de r et les longueurs des diagonales comme sommes des longueurs de deux segments ...
Bien cordialement
JLB
en posant que les côtés a, b, c, d sont en progression géométrique de raison x et en posant y = x2 et en utilisant le fait qu'un quadrilatère inscriptible et orthodiagonal inscrit dans un cercle de rayon R doit vérifier la relation :
8R2 = a2 + b2 + c2 + d2 , je suis arrivé à l'équation (E) :
La solution réelle y = 1 donne x = 1 et donc le quadrilatère ABCD est un losange inscriptible : c'est un carré.
Question : Soit un quadrilatère inscriptible ABCD dont les longueurs a, b, c, d des côtés sont en progression géométrique de raison x.
Dans quel intervalle de |R se situe x ?
Réponses
désolé, pas de dessin, j'espère que les notations sont assez claires.
$AD=2$ donc $A$ et $D$ sont diamétralement opposés sur le cercle.
Considérant le triangle $BCD$ , on a $BD^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\hat{C}$.
Considérant le triangle $BAD$ , qui est rectangle en $B$, on a $BD^{2}=4-a^{2}$.
On a donc : $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc.cos\hat{C}-4=0$.
Par cocyclicité (avec $A$ et $C$ de part et d'autre de $\left(BD\right)$), on a $cos\hat{C}=-cos\hat{A}$, et donc $cos\hat{C}=-\frac{a}{2}$.
Ainsi, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc-4=0$.
Enfin, en notant $k=\frac{c}{2}=\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$, on arrive
à : $3k^{6}+k^{4}+k^{2}-4=0$.
Or le polynôme $3X^{3}+X^{2}+X-4=0$ possède une unique racine réelle, que je note $r$, et qui est positive; comme $k$ est positif, on a $k=\sqrt{r}$.
On a donc $a=2r\sqrt{r}$, $b=2r$ et $c=2\sqrt{r}$.
.
Ce ne serait pas plutôt $3X^{3}+X^{2}+X-1=0$ l'équation dont $r$ est l'unique solution réelle ?
je confirme l'équation (E) : 3x3 + x2 + x - 1 = 0 .
r = 0,4693964245699946792019209673920...
Les formules de Cardan permettent d'en donner la valeur exacte.
On trouve les côtés a, b, c valant respectivement environ 0,64731905597 ; 0,938792849 ; 1,370250232 .
J'ai procédé différemment pour obtenir l'équation ci-dessus.
J'ai exprimé le rayon R d'un quadrilatère inscriptible en fonction des côtés a, b, c, d puis j'ai posé le fait que les côtés sont en progression géométrique et ensuite en écrivant R = 1 je suis arrivé à l'équation (E).
Bien cordialement.
kolotoko
Déterminer les longueurs des côtés de $ABCD$.
la solution ''ABCD est un carré'' convient.
Bien cordialement.
kolotoko
Cela, peut-on l'expliquer sans calculer la raison ?
Ludwig, pour répondre à ta question : théorème de Ptolémée + "axiome" (;-) à Pappus) de Pythagore ? J'ai l'impression que ça devrait pouvoir marcher, en exprimant les longueurs des côtés en fonction de r et les longueurs des diagonales comme sommes des longueurs de deux segments ...
Bien cordialement
JLB
en posant que les côtés a, b, c, d sont en progression géométrique de raison x et en posant y = x2 et en utilisant le fait qu'un quadrilatère inscriptible et orthodiagonal inscrit dans un cercle de rayon R doit vérifier la relation :
8R2 = a2 + b2 + c2 + d2 , je suis arrivé à l'équation (E) :
y6 - 2y5 -y4 + 4y3 -y2 -2y +1 = (y-1)4 x (y+1)2 =0 .
La solution réelle y = 1 donne x = 1 et donc le quadrilatère ABCD est un losange inscriptible : c'est un carré.
Question : Soit un quadrilatère inscriptible ABCD dont les longueurs a, b, c, d des côtés sont en progression géométrique de raison x.
Dans quel intervalle de |R se situe x ?
Bien cordialement.
kolotoko
x doit appartenir à l'intervalle ]0,54368901..., 1,839286755...[ ; voir A192918 et A058265 dans O.E.I.S
Chaurien nous a entretenu récemment du nombre 1,839... appelé constante de Tribonacci .
Bien cordialement.
kolotoko