Quadrilatère inscriptible

Bonjour,

désolé, pas de dessin, j'espère que les notations sont assez claires.

$AD=2$ donc $A$ et $D$ sont diamétralement opposés sur le cercle.

Considérant le triangle $BCD$ , on a $BD^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\hat{C}$.

Considérant le triangle $BAD$ , qui est rectangle en $B$, on a $BD^{2}=4-a^{2}$.

On a donc : $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc.cos\hat{C}-4=0$.

Par cocyclicité (avec $A$ et $C$ de part et d'autre de $\left(BD\right)$), on a $cos\hat{C}=-cos\hat{A}$, et donc $cos\hat{C}=-\frac{a}{2}$.

Ainsi, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc-4=0$.

Enfin, en notant $k=\frac{c}{2}=\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$, on arrive
à : $3k^{6}+k^{4}+k^{2}-4=0$.

Or le polynôme $3X^{3}+X^{2}+X-4=0$ possède une unique racine réelle, que je note $r$, et qui est positive; comme $k$ est positif, on a $k=\sqrt{r}$.

On a donc $a=2r\sqrt{r}$, $b=2r$ et $c=2\sqrt{r}$.

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Yes, un 4 qui traînait..

Je remplace la condition $d=2$ par $(AC)\perp(BD)$.
Déterminer les longueurs des côtés de $ABCD$.

Oui, et il n'y en a pas d'autres. Car si la raison $r>1$ alors les diagonales ne peuvent pas être perpendiculaires.
Cela, peut-on l'expliquer sans calculer la raison ?