Géométrie analytique

Solution calculée : les calculs sont un peu fastidieux mais pas compliqués
- équation des normales en un point de chacune des paraboles puis on pose que ces normales sont les mêmes.

Ces deux paraboles ont une normale commune unique, qui joint les points réalisant leur distance minimum.
J'ai l'impression que le cercle ayant ces deux points pour diamètre est le cercle cherché
Quoi qu'il en soit, c'est un beau problème brut.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

On écarte les paraboles qui se coupent parce que c'est trivial, non ?

La construction par ajustement faite par fm_31 peut-être "programmée" pour qu'elle converge vers la solution. Dans le fichier joint on peut bouger les foyers $F_1$ et $F_2$ ainsi que les directrices $(AB)$ et $(CD)$ (bon faut y aller doucement quand même).

(s'assurer que le point G est "animé", clic droit sur le point)

Au final, ne s'agit-il pas simplement d'un problème de minimisation sous contrainte ?

Oui d'accord. Sauf que ces petits cercles ne sont pas de la même nature que de véritables solutions, car on peut justement faire converger leurs rayons vers $0$. Il vaut mieux les écarter en imposant $r>0$ dans l'énoncé du problème, ou plutôt en imposant qu'aucun autre cercle du voisinage, et de rayon plus petit, ne soit aussi solution.

Cela permettra de traquer toutes les vraies solutions et comme je l'ai dit, de vérifier qu'elles évoluent continument suivant les paramètres. Par exemple, dans mon fichier posté juste au-dessus, on peut bouger la directrice $CD$ de façon à ce que sa direction reste constante (en prenant la droite, pas en bougeant séparément $C$ ou $D$) et on voit bien que le cercle solution se déplace continument y compris jusqu'à ce que les paraboles se coupent. Ces solutions-là font partie d'une même famille, famille dont ne font pas partie les petits cercles dont tu parles.

Bonsoir,

Chaurien a écrit:

Je ne peux pas ouvrir les figures données par fm_31.
Je ne comprends pas cette idée de faire bouger tel point ou telle droite

Ce sont des fichiers Géogébra, logiciel gratuit que tu peux télécharger et installer facilement.
C'est un logiciel de géométrie dynamique, dans lequel tu peux sélectionner certains objets, point ou droite par exemple, et les déplacer à la souris, ce qu'on appelle les bouger.

Cordialement,

Rescasssol

Ci joint l'équation à résoudre pour avoir l'abscisse d'un premier point du cercle sur une des deux paraboles. A simplifier peut-être .

Bonsoir à tous
Mon petit raisonnement apollonien montre que seul le recours à un logiciel de calcul formel permet de résoudre numériquement ce problème d'évariste21.
Je ne désespère cependant pas de pouvoir illustrer le ou les solutions de ce problème à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique
et je pense y être arrivé au moins avec Cabri.
Mais comme ma construction est basée sur des considérations de géométrie projective, je me demande si ça vaut le coup de continuer!!!
Je vais quand même donner le début de mon raisonnement.
On a deux paraboles $P$ et $P'$.
Je considère un cercle solution (de Chaurien) tangent en $M$ à la parabole $P$ et en $M'$ à la parabole $P'$.
La droite $MM'$ est une normale commune donc les tangentes en $M$ et $M'$ aux paraboles $P$ et $P'$ sont parallèles.
On est donc amené à s'intéresser aux couples $(M,M')\in P\times P'$ tels que la tangente en $M$ à la parabole $P$ soit parallèle à la tangente en $M'$ à la parabole $P'$.
Si on se donne le point $M\in P$, il existe en général un unique $M'\in P'$ tel que la paire $(M,M')$ vérifie la propriété précédente puisqu'on le sait, plus exactement on le savait, il existait un seul point sur une parabole dont la tangente est parallèle à une direction donnée.
On obtient ainsi une application $f:P\longmapsto P'; M\mapsto M'$ tel que la tangente en $M$ à la parabole $P$ est parallèle à la tangente en $M'$ à la parabole $P'$.
Seulement catastrophe épouvantable, calamitas de calamitas, l'application $f$ est projective.
Plus le droit d'en parler aujourd'hui!
Je continue, je suis bon prince.
Je projette orthogonalement le point $M'$ sur la tangente en $M$ à la parabole $P$ en un point $Q$ et je trace le vecteur $\overrightarrow{MQ}$.
Je choisis un point $O$ de référence et je construis le point $R=O+\overrightarrow{MP}$
Ensuite je trace le lieu $\Gamma$ de $R$ quand $M$ décrit la parabole $P$.
Une fois la courbe $\Gamma$ tracée, on regarde la multiplicité du point $O$ dans $\Gamma$ qui donne le nombre de solutions réelles.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

J'ai remarqué des points cocycliques : avec les intersections des deux tangentes et des directrices, les points de contact des paraboles et du cercle, et leurs projections sur les directrices (2 fois 4 points sur 1 cercle) :

Si si ça marche. Et j'ai aussi un procédé de construction : ma figure converge vers la solution. Certes ce procédé est basé sur des calculs approchés mais l'erreur est de $10^{-15}$. Alors, quand GeoGebra me dit que ces quatre points sont cocycliques, j'ai tendance à pense que le logiciel à raison. Où alors ça nous donne un exemple où il se trompe tout le temps. ;-)

Mon cher Ludwig
Ma construction suggère qu'il n'y a pas cocyclicité, alors qui croire?
Examine le cas particulier où les paraboles ont la même directrice.
Les choses se simplifient grandement au point qu'on peut donner une construction directe et apollonienne des points de contact!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Voici ma figure dans le cas où les paraboles $P$ et $P'$ ont la même directrice $D.\qquad$
Il se trouve alors que les deux paraboles sont homothétiques par rapport au point $\Omega=FF'\cap D$.
Mais sait-on encore aujourd'hui ce qu'est une homothétie?
J'en doute!!!
J'espère qu'au moins, au moins nos taupins connaissent la définition axiomatique des homothéties d'un espace vectoriel!!!
Ainsi on est amené à mener les normales issues de $\Omega$ aux paraboles $P$ et $P'$.
On est passé d'un problème de degré $9$ à un problème de degré $3$, pas mal n'est-il pas?
Mais toujours pas l'occasion de nous servir de notre règle ébréchée et de notre compas rouillé, sniff!!
Mais au moins on peut se servir de l'hyperbole de notre maître Apollonius.
J'ai tracé en rouge cette hyperbole, encore faut-il savoir sa définition, deux mille trois cent ans après qu'Apollonius se soit décarcassé en vain pour nous!
Mon logiciel sait prendre les intersections de coniques et le tour est joué!
Je n'ai pas tracé les cercles de Ludwig car je n'ai pas compris leur définition mais peut-être existent-ils après tout!!
Seul Ludwig pourra nous le confirmer!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bien sûr qu'ils existent ces cercles, et il y en a même quatre. Leurs centres et celui du cercle de contact sont bien évidemment alignés, et la droite qui les contient est la médiatrice des points de contact, qui est parallèle aux tangentes.
Il n'y aurait pas une correspondance à étudier avec ces points cocycliques ? Par exemple je prends le cercle passant par $T_1$, $T_2$, $G$ et $E$. Peut-on établir un lien entre $G$ et $E$ ? Je dis ça comme ça, mais je trouve qu'il y a de la symétrie dans l'air.

Sinon c'est quoi exactement cette hyperbole rouge pappus ?

Et pourquoi le problème général ne se ramènerait-il pas à un de degré moindre que 9, 3 par exemple ?

Bonjour pappus, bonjour à tous,

Tu me dis pappus si je ne raconte pas de bêtises : Appolonius a utilisé une hyperbole équilatère pour construire la normale issue d'un point à une parabole. Dans ta figure il s'agit de la normale issue de $\Omega$ à la parabole $P$ .

En choisissant un repère convenable on peut se ramener au cas où la parabole à pour équation $y=2p \times x^2$. On cherche alors une équation de la normale passant par un point $(a,b)$ de la parabole et on écrit que les coordonnées du point $\Omega$ vérifient cette équation. Je n'ai pas le temps ce matin d'écrire ces calculs mais on obtient que $(a,b)$ doit se trouver sur une hyperbole équilatère. On trace cette hyperbole, et le logiciel nous donne son intersection avec la parabole.

Mais ce qui m'intéresses là tout de suite c'est comment tu t'y es pris, géométriquement, pour tracer cette hyperbole ?

À ce soir

Mon cher Ludwig
Voici sans commentaires (pour le moment) la configuration d'Apollonius tombée dans les oubliettes républicaines deux mille deux cent trente ans environ après sa découverte.
Le tracé de l'hyperbole d'Apollonius résulte tout bêtement de son équation.
Les calculs sont plus exactement étaient autrefois archi simples, aujourd'hui c'est évidemment une toute autre affaire!
Dès qu'on dépasse l'équation de l'axe réel ou celle du cercle trigonométrique, c'est la débandade!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Lake pour ces calculs. Je préfère la méthode des 5 points rappelée par Rescassol (ou aussi par foyers et directrice), car si on peut trouver cinq points constructibles de l'hyperbole, alors peut-être qu'on peut déceler dans leurs positions des indices pour généraliser la construction à des paraboles de directrices différentes. Je rêve ? Ben oui, des fois ça marche. Et puis, si on ne rêve pas.. à quoi ça sert..

Bonjour à tous
Par curiosité, j'ai montré comment ma construction générale fonctionnait dans ce cas où les paraboles sont homothétiques.
J'ai effacé la construction apollonienne qui me fournit les points $P$, $Q$, $R$ pour plus de lisibilité.
Comme il faut s'y attendre, ma méthode générale fonctionne parfaitement dans ce cas très particulier!
Noter la présence curieuse du point de rebroussement en $P$.
Amis algébristes, explication de gravures?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
Oui, $m$ est la projection orthogonale de $M'$ sur la tangente en $m$ à la parabole $\Pi\qquad$
La courbe bleu foncée est le lieu de $m$ quand $M$ décrit la parabole $\Pi\qquad$Bref c'est la méthode générale que j'avais expliquée dans un précédent message
J'ai découvert le point de rebroussement à ma grande surprise en faisant la figure.
Il n'a probablement rien à voir avec le rapport d'homothétie que j'ai choisi !
Amicalement
[small]p[/small]appus
P
Peux-tu me décrire brièvement ta méthode de construction par ajustement que je ne connais pas ?

Merci Ludwig
J'aurai enfin appris quelque chose en restant sur ce forum envers et contre tout
Encore une fois mille fois merci.
Ta méthode est un processus de passage à la limite qui doit marcher dans plein de circonstances: construction de tangentes, enveloppe de droites, etc...
As-tu testé ta méthode dans les cas où on connait à l'avance le résultat?
Par exemple: la construction des normales issues d'un point à une conique, la développée d'une conique, la cycloïde, etc, etc...
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
Quand je parle de point de rebroussement, je ne suis sûr de rien évidemment!
Effectivement il faudrait zoomer mais le mieux serait encore de faire les calculs.
Et tu sais que je suis très très paresseux.
Dans la dernière figure où je me suis placé dans le cas de deux paraboles homothétiques, on obtient trois cercles: le cercle solution de Chaurien proprement dit qui correspond vraiment à un minimum du diamètre et deux autres cercles qu'on appelle cercles critiques dans la théorie.
Ta méthode d'ajustement permet-elle de détecter ces cercles critiques?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Ludwig
Donc on marche sur des oeufs.
Chaque cas est à prendre avec des pincettes.
En fait cette configuration générale de deux paraboles $\Pi\quad$ et $\Pi'\quad$ n'est intéressante que par cette transformation projective qui fait passer d'un point $M\in \Pi\quad$ de tangente $T\quad$ au point $M'\in \Pi'\quad $ de tangente $T'\quad$ tel que $T'\parallel T.\qquad$
Cette transformation projective $\Pi\mapsto \Pi'\quad$ se prolonge de façon unique alors à tout le plan $\mathcal P\quad$ en une transformation projective $f:\mathcal P\mapsto \mathcal P$
On ne peut plus parler de tout cela puisque la géométrie projective a disparu corps et biens pour toujours dans notre belle république.
Je ne signale donc que pour mémoire ces deux belles propriétés de l'application projective $f:\quad$
1° $$f(F)=F'$$
où $F\quad$ et $F'\quad$ sont les foyers respectifs des paraboles $\Pi\ $ et $\Pi'.\ $
2° $$f(D)= D'$$
où $D\ $ et $D'\ $ sont les directrices respectives des paraboles $\Pi\ $ et $\Pi'.\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus