Points isogonaux

pappus
pappus
dans Géométrie
Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.
Le dernier casse tête de Jean-Louis m'a amené à m'intéresser aux points isogonaux.
Je sens qu'on va passer pas mal de temps avec eux !
En rêvassant plus ou moins, j'en suis venu à me poser la question suivante.
Quel est le lieu des points $M$ du plan tels que si $M^*$ est leur point isogonal par rapport au triangle $ABC$, la droite $MM^*$ soit tangente au cercle circonscrit au triangle $ABC$ ?
Vous commencez à me connaitre, je déteste me lancer dans des calculs sans avoir une petite idée du résultat.
Aussi ai-je tracé ce lieu avec mon logiciel favori !
1° Comment ai-je fait ?
2° Le tracé n'est pas fameux, ce qui m'étonne car mon logiciel me donne le plus souvent des résultats fort lisibles !
3° Le lieu a l'air d'être une courbe algébrique de degré assez élevé, ce qui ne m'incite guère à me lancer dans des calculs !
4° Superficiellement, cette courbe semble se décomposer en trois paraboles.
Je n'en suis pas sûr évidemment mais si c'était vrai, ce serait bête de passer à côté !
Alors to calculate or not, that is the question ?
Amicalement.
[small]p[/small]appus118782

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Morley circonscrit trouve, une équation de degré 6 qui ne se factorise pas.

    Cordialement,

    Rescassol

    PS: Sur ce, au lit.118784
  • pappus
    pappus
    Merci Rescassol
    Mon tracé n'était pas fameux et ma vue déficiente!
    Le tien est meilleur que le mien
    Peut-être parce que tu t'y est pris mieux que moi!
    Comment as-tu fait d'ailleurs pour tracer ce lieu?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Tout simplement à l'aide de son équation $T_6+T_5+T_4+T_3+T_2+T_1+T_0=0$ avec: 
    T_6=(z^3 + zB^3*s3^2)^2
T_5=-2*s1*z^5 + 4*s3*z^4*zB + 2*s2*s3*z^3*zB^2 + 2*s1*s3^2*z^2*zB^3 + 4*s3^3*z*zB^4 - 2*s2*s3^3*zB^5
T_4=(s1^2+2*s2)*z^4 - 6*s1*s3*z^3*zB - 2*s3*(s1*s2+6*s3)*z^2*zB^2 - 6*s2*s3^2*z*zB^3 + s3^2*(s2^2+2*s1*s3)*zB^4
T_3=-2*(s1*s2+4*s3)*z^3 + 2*s1^2*s3*z^2*zB + 2*s2^2*s3*z*zB^2 - 2*s3^2*(s1*s2+4*s3)*zB^3
T_2=(s2^2+12*s1*s3)*z^2 + 2*s3*(s1*s2+8*s3)*z*zB + s3^2*(s1^2+12*s2)*zB^2
T_1=-4*s3*((s1^2+2*s2)*z + (s2^2+2*s1*s3)*zB)
T_0=4*s1*s2*s3
    Cordialement,

    Rescassol
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Et avec le cercle inscrit.

    Cordialement,

    Rescassol118798
  • pappus
    pappus
    Merci Rescassol
    Nos tracés diffèrent maintenant!
    Nous n'avons pas la même philosophie et c'est tant mieux
    Je fais le tracé d'abord et éventuellement les calculs s'ils semblent intéressants.
    Tu fais les calculs d'abord et ensuite le tracé.
    Ta méthode me semble plus saine mais n'oublie pas que je suis devenu fort paresseux avec le grand âge!
    Comment as tu fait pour obtenir l'équation et je dirai comment j'ai réalisé mon tracé plus que douteux?
    Est-ce MatLab qui trace ton lieu?
    Je dirai ensuite pourquoi je m'y suis intéressé!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Voilà mon code Matlab, Pappus: 
    % Pappus - 14/03/2021 - Points isogonaux

clc, clear all, close all

syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

syms m mB

[mstar mstarB]=TransfoIsogonale(s1,s2,s3,m,mB);

[n nB]=ProjectionPointDroite(0,m,mstar,0,mB,mstarB);

Eq=numden(Factor(n*nB-1))
 
Eq=FracSym(Eq,[a b c]);

Eq=collect(-Eq,[m mB])
    Je me place en Morley circonscrit et considère un point $M(m)$ quelconque.
    Je calcule son isogonal $M^*(mstar)$ par rapport au triangle $ABC$ à l'aide de la fonction TransfoIsogonale qui implémente la formule maintes fois donnée ici.
    Je projette orthogonalement $O$ sur la droite $(MM^*)$ en $N(n)$ grâce à ma fonction ProjectionPointDroite.
    Enfin, j'écris que la distance $ON$ est égale à $1$ (Ici, $ON^2-1=0$)., ce qui donne une équation entre $m$ et $\overline{m}=mB$.
    J'ai un petit programme annexe qui transforme une équation complexe en $z$ et $\overline{z}$ en deux équations réelles en $x$ et $y$.
    Enfin, il n'y a plus qu'à fournir ça à Géogébra qui sait tracer les courbes algébriques données de façon implicite.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: Une typo.
  • pappus
    pappus
    Merci Rescassol
    Très logique en effet et très efficace.
    Voici ma méthode.
    Je pense qu'elle est exacte elle aussi mais je ne comprends pas pourquoi je n'obtiens pas le même tracé que toi.
    Si je me suis trompé n'hésite pas à me le dire et pourquoi pas, essaye d'appliquer ma méthode avec GeoGebra pour voir si tu obtiens la même chose!
    Je trace une tangente au cercle circonscrit au triangle $ABC$ dont le point de contact $m$ varie sur le cercle.
    La transformée isogonale de cette tangente est la parabole circonscrite au triangle $ABC$ dont la direction asymptotique $\delta$ est l'isogonal du point $m$.
    Je prends l'intersection de la tangente au cercle avec la parabole puis je demande au logiciel de tracer le lieu de ces deux points d'intersection quand le point $m$ varie sur le cercle.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus118810
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Pappus, je pense que nos deux méthodes aboutissent au même résultat, Géogébra le confirme, mais j'ai quelques problèmes avec les calculs.
    Je joins une nouvelle figure avec la parabole comme isogonale de la tangente en $U$ au cercle circonscrit ($P$ est un point de la tangente et $P^*$ son isogonal).
    J'ai placé le foyer et le sommet et l'axe de la parabole. Cet axe est la droite de Simson du point $N\left(\dfrac{s_1+u}{2}\right)$ par rapport au cercle d'Euler du triangle $ABC$.
    $w$ est un vecteur directeur de cet axe, il a pour affixe une racine carrée de $-\dfrac{s_3}{u}$.
    La parabole recoupe le cercle circonscrit en $V\left(\dfrac{s_3}{u^2}\right)$.
    Le sommet est:
    $S\left(\dfrac{3u^6+2s_1u^5-(s_1^2+10s_2)u^4+2(s_1s_2+17s_3)u^3+3(s_2^2-6s_1s_3)u^2+2s_2s_3u-s_3^2}{16u^2(u-a)(u-b)(u-c)}\right)$.
    On a donc $5$ points pour tracer la parabole.

    Cordialement,

    Rescassol

    PS: Je me suis un peu servi de ce que j'avais fait pour mon vieux fil en solitaire.118930
  • pappus
    pappus
    Merci Rescassol pour tout le mal que tu t'es donné.
    Ce qui m'importe, c'est pourquoi j'obtiens un tracé si mauvais.
    Mais basta, je survivrai bien sans le savoir!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    J'ai pu mener à bien les calculs par les deux méthodes et j'obtiens bien la même équation de sextique.
    Tes difficultés de tracé me semblent liées, soit au fait que nous ne pouvons pas avoir exactement le même exemple de triangle $ABC$, soit que le tracé d'un lieu soit moins précis quand on ne l'obtient pas à l'aide de son équation, soit que Cabri soit moins précis que Géogébra, mais je ne crois pas à cette dernière explication.

    Cordialement,

    Rescassol
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