Des lieux dans un triangle

Bonjour à tous
Pour le problème n°2, j'indique une piste calculatoire
On part du point $P(x:y:z)\qquad$.
On calcule les coordonnées barycentriques des symétriques respectifs de $P$ par rapport aux côtés du triangle $ABC.\qquad$.
Soit $P_A(x_A:y_A:z_A),\quad$ $P_B(x_B:y_B:z_B),\quad$ $P_C(x_C:y_C:z_C),\quad$
On écrit que leurs isotomiques:
$P'_A(y_Az_A:z_Ax_A:x_Ay_A),\ $ $P'_B(y_Bz_B:z_Bx_B:x_By_B),\ $ $P'_C(y_Cz_C:z_Cx_C:x_Cy_C)\ $ sont alignés, soit:
$$
\begin{vmatrix}
y_Az_A&y_Bz_B&y_Cz_C\\
z_Ax_A&z_Bx_B&z_Cx_C\\
x_Ay_A&x_By_B&x_Cy_C
\end{vmatrix}
=0
\qquad
$$
Compte tenu de ma paresse congénitale, je vous laisse volontiers ce calcul absolument passionnant!
Chaque entrée de ce déterminant est quadratique en $(x,y,z)$.
A priori, le lieu devrait donc être une glorieuse sextique.
Il ne reste plus qu'à placer dessus suffisamment de points d'ETC pour entrer dans l'histoire et lui donner son nom !
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Jelobreuil
Je ne risque pas d'oublier ta glorieuse sextique.
La seule difficulté est d'exhiber l'écriture en coordonnées barycentriques des symétries par rapport aux côtés du triangle $ABC$.
Tu peux ensuite laisser le reste à un logiciel de calcul formel qui te fourniras gratis pro deo son équation et même les points d'ETC qui se trouvent dessus,( alors là c'est l'orgasme!), en suivant la méthode de Ludwig!
Par contre, tu me sembles avoir oublié l'expérience que je te proposais sur la définition des angles orientés, exposée dans le Lebossé-Hémery de Seconde!
Mais tu peux continuer à vivre heureux avec les angles camemberts et la géométrie fromagère.
Tu en sais autant que nos étudiants actuels!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je ne me suis pas intéressé à ton problème n°1 car il me semble mal posé!

Bonjour,

@ pappus : ETC ? Ils sont formidables ces points ! Je les ai tous passé en revue, un par un : $X_1$, $X_2$, $X_3$, puis $X_4$, $X_5$, etc.

Pour le problème n°1 je m'intéresse juste au cas du triangle équilatéral. Lorsque les six intersections des cercles avec les côtés existent, alors celles-ci sont toujours sur une même conique, mais cette conique n'est pas forcément une ellipse. Et je me demande pour quelles positions de $P$ cette conique est une ellipse, une hyperbole, ou une parabole. Bon sans doute que l'on trouve ça dans la littérature, et qu'on peut calculer l'excentricité en fonction de.. de quoi ? la distance entre $P$ et le centre de gravité du triangle peut-être.