Valeurs trigo particulières (collège)
dans Géométrie
Bonjour.
Démontrer que :
-Sin 30° = 1/2
-Sin 45° =( 2^1/2)/2.
-Sin 60° = (3^1/2)/2.
Sans appliquer le théorème de Pythagore (le théorème de Thalès est autorisé).
Cette démonstration est destinée un élève de niveau collège.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Démontrer que :
-Sin 30° = 1/2
-Sin 45° =( 2^1/2)/2.
-Sin 60° = (3^1/2)/2.
Sans appliquer le théorème de Pythagore (le théorème de Thalès est autorisé).
Cette démonstration est destinée un élève de niveau collège.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
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Réponses
Pour $\sin(45°)$ on peut déterminer la longueur de la diagonale d'un carré de côté $1$ par un calcul d'aire :
Pour 60°, on ne voit pas bien comment trouver ce $\sqrt 3$ sans utiliser le théorème de Pythagore.
On montre que $HC=\sqrt{3}$ en utilisant le fait que $AHC$ et $BHC$ sont semblables.
D'où le résultat pour $sin(60°)$ car $AOC$ est équilatéral.
ça n'utilise pas le théorème de Pythagore.
Cordialement.
Je ne comprend pas comment les figures données sont des preuves de ce qui est demandé et comment ces figures se passent du théorème de Pythagore.
Cordialement.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
$\sin(30°) = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac a 2}{a} = \frac 1 2$
Cordialement.
Segments oranges, longueur unité.
NW : $2$ côté$^2$ = diagonale$^2=(\sqrt{2})^2 \qquad\sin 45°=1/\sqrt{2}$
$x$ et $y$ : grande, resp petite diagonale du losange $30°$
Comparaison des aires de NW et NE : $xy=1$
Comparaison SW-SE : $x-y=\sqrt{2}$
On a $x=2\cos 15°$ et $y=2\sin 15°$
ETC.
Proposition pour $\sqrt{3}$ suit.
Connaissez-vous des problèmes niveau collège où l'utilisation d'une de ces valeurs remarquables permet de trouver le résultat exact ? (pas la hauteur d'un triangle équilatéral évidemment)
Pour te donner des idées, peut-être ...
Bien amicalement
JLB
J'ai simplifié ton problème, pour que la consigne soit "minimale" :
$ABC$ est un triangle rectangle en $B$, avec $\widehat{BAC}=60°$ et $AB=1$.
$B'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$.
Montrer que $B'C = \sqrt{7}$.
PS : il vaut mieux régler les calculatrices, en début d'année, pour qu'elle affiche les résultats sous forme décimale. Cela évitera d'être parasité par les résultats exacts qu'elles peut parfois donner, comme ici : $\tan(60)=\sqrt{3}$.
Je suis content que mes modestes "trouvailles" servent à quelque chose !
Mais comment penses-tu que les élèves vont répondre ? Que veux-tu dire par "ils se lanceront dans la trigo" ?
Et attention, ce n'est pas BC, mais B'C, qui vaut racine de 7 !
Bien cordialement
JLB
Un chemin possible : on veut calculer $B'C$, je sais que $BB'C$ est rectangle en $B$. Je connais $BB'$, c'est $2$. Mince je ne connais pas $BC$, comment faire pour le trouver ? Pythagore ? Hum... $AC$ n'est pas connu. Avec la trigo dans le triangle $ABC$ !
Bon après faut pas se leurrer peu d'élèves trouveront seuls, mais on peut les guider. Pas mal cet exo je trouve, il fait faire des petits calculs avec des racines carrées, on en voit pas tant que ça. Un bon ascenseur, accessible au plus grand nombre. Je vais en chercher d'autres du même type, même si le nombre d'angles utilisables est très petit.
J'ai vu les arguments mais je dois être déformé car j'y vois des utilisations indirectes du théorème de Pythagore.
En tous cas merci.
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Ludwig, merci, je vois le cheminement ...
Dreamer, c'est sûr que pour un esprit averti, il y a du Pythagore indirect. Mais justement, le GROS problème, j'en ai vraiment l'impression, c'est que pour les collégiens d'aujourd'hui, il leur faut absolument du Pythagore direct ! Sans quoi ils renâclent ! J'avoue que je ne me rappelle pas du tout ce qu'il en était pour moi à l'époque, il y a 55 ans ...
Bien cordialement
JLB
Peut-on calculer l'aire du parallélogramme en fonction des diagonales.
Cordialement
Djelloul Sebaa.
Pour deux diagonales données, on peut faire varier l’angle.
L’angle droit donnera un losange et une aire optimale.
Avec l’angle, oui.
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Rebonjour.
ABCD est un parallélogramme fixe avec l'angle A = 120° et l'angle B = 60°et les longueurs AB et BC sont données.
Avec ces hypothèses peut-on calculer l'aire de ce parallélogramme en fonction des diagonales.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
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Ben oui.
Mais c'est d'un niveau un peu plus élevé, je le reconnais ...
Bien cordialement
JLB
ABCD est un parallélogramme fixe avec l'angle A = 120° et l'angle B = 60°et les longueurs AB = 2 . BC sont données.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Tu n'as jamais été très clair, mais maintenant ça devient incompréhensible ("les longueurs AB = 2 . BC sont données"), et de niveau de plus en plus bas
Je voulais juste répondre indirectement à la question posée par jelobreuil (voir ci-dessus ) .
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Bien cordialement
JLB
-Sin 30° = 1/2.....................................................(Demonstration donnée à base du theoreme de Thales.)
-Sin 45° =( 2^1/2)/2...........................................(Demonstration donnée à base du theoreme de Thales )
-Sin 60° = (3^1/2)/2...........................................(Demonstration non encore donnée à base du theoreme de Thales )
Cordialement.
Djelloul Sebaa.
Demontrer que:
-Sin 60° = (3^1/2)/2.
Sans appliquer le théorème de Pythagore (le théorème de Thalès est autorisé).
Cette démonstration est destinée un élève de niveau collège.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Déduire de cette figure les valeurs exactes de $\cos 72°$ et $\cos 36°$ en restant au niveau collège.
Pourquoi demander si tu ne lis pas les réponses ? Une méthode a été proposée il y a 12 jours !!
Démontrer ( à l'aide du théorème de Pythagore ) que :
-Sin 30° = 1/2
Cordialement.
Djelloul Sebaa
Édit : N’oublions pas de dire qu’il s’agit d’une trisection de l’angle droit 8-)
Merci Dom pour la réponse , j'ai dit théorème de Pythagore : donc il ne faut pas utiliser le triangle EQUILATERAL.
Cordialement .
Djelloul Sebaa
Alors $AB=\sqrt{1-x^2}$ (Pythagore dans $ABC$).
Les triangles $ABC$ et $BCH$ sont semblables donc $ \frac{AB}{x} = \frac{x}{BH}$, c'est-à-dire $HB= \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}.$
D'où $AH=HC=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ (Pythagore dans $BHC$).
En calculant l'aire du triangle $ABC$ de deux façons différentes on montre que $KH=\frac{x-2x^3}{\sqrt{1-x^2}}.$
Mais $x=\sin(30°)=\frac{KH}{AH}$. On obtient donc l'égalité $x^2=x-2x^3$.
Cette égalité est vérifiée pour trois nombres seulement : $0$, $-1$ et $\frac{1}{2}$.
Seul $\frac{1}{2}$ convient. Donc $\sin(30°)=\frac{1}{2}$.
Ce qui montre directement que $\sin(30°)=\frac{1}{2}$.
Voici la solution;
:
Soit ABC rectangle en C tel que l'angle B = 60° et l'angle C=30°.avec AB = c et AC = b et BC = a
D'ou l'angle B = 2. l'angle C
1) Appliquons le theoreme de la trisection angulaire .
Donc : b^2 = a^2 + a.c posons a= 1 ( 1: unité de mesure )
d'ou b^2 = 1 +1..c = 1+c.
donc b^2 = 1 + c...............................................( 1 )
2)Appliquons le theoreme de Pythagore:
le triangle ABC est rect en C cela implique :c^2 = a^2 + b^2 implique c^2 = 1^2 +b^2 entraine : b^2= c^2 -1.......................( 2)
(1) = (2) implique 1 + c = c^2- 1 entraine c^2 - c - 2 = 0 entraine ( c -2 )(c +1 ) = 0
D'ou : c = 2 ( solution convenable) ou bien c= -1 ( solution à rejeter)
Donc : SIN(30°) = a /c = 1/2 ..............cqfd.
Methode de Pythagore combinée a celle de la trisection angulaire................(solution variante).
Cordialement.
Djelloul Sebaa
La seule utilisation du théorème de Pythagore ne permet pas de conclure d'ailleurs, il faut bien faire intervenir une autre propriété (des triangles semblables pour la solution de djelloul et la mienne, une propriété du triangle équilatéral pour Dom).
Cela dit, on peut trouver la réponse uniquement en faisant des petits calculs angulaires et le théorème de Pythagore donc.
Dans la figure ci-dessous, $ABC$ est rectangle en $B$ avec $AC =1$ et $\widehat{BAC}=30°$. La bissectrice de $\widehat{ACB}$ coupe $[AB]$ en $H$.
On commence par montrer que le triangle $AHC$ est isocèle en $H$ par un petit calcul angulaire.
On note $x=BC=\sin(30°)$, $y=AH=HC$ et $z=BH$.
L'application du théorème de Pythagore permet d'obtenir les égalités $AB=y+z=\sqrt{1-x^2}$, $x^2+z^2=y^2$ et $(y+z)^2+x^2=1$. De ces deux dernières égalités on déduit que $2y(y+z)=1$, c'est-à-dire $y=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$. D'où $z=\sqrt{1-x^2}-y=\frac{1-2x^2}{2\sqrt{1-x^2}}.$
Enfin $x=\sin(30°)=\frac{z}{y}$ s'écrit $x=1-2x^2$. D'où le résultat.
Énoncé :
ABC triangle rect en A . l'angle B = 60° . l'angle C = 30° ; le pt D appartient au segment [AC] tels-que CD = x et AD = AB = 1 ( 1 : unité de mesure
1) Faire la figure .
2) Etablir l'équation du 3e degré : x^3 + 3.x^2 - 2 = 0 (à partir de la figure )
3) Resoudre l'équation .
Cordialement
Djelloul Sebaa
en supposant que rect signifie rectangle et que pt signifie point , il vient :
(x+1)2 + 12 = 22 = 4 soit x2 + 2x - 2 = 0 et donc (x+1)(x2 + 2x - 2) = x3 + 3x2 - 2 = 0 .
Une équation du premier degré et une équation du second degré ; on devrait pouvoir en venir à bout.
Quel est l'intérêt d'avoir une équation du troisième degré quand le second degré suffit ?
Bien cordialement.
kolotoko
On peut simplifier un peu sa figure : pas besoin du point $E$ en écrivant la proportionnalité des côtés dans les triangles semblables $ABC$ et $BDC$. Mais on tombe encore sur une équation du deuxième degré, qui n'est pas au programme de troisième..
Il ne faut pas oublier quand même les angles dont les lignes trigonométriques se calculent sans utiliser les axiomes de Thalès et de Pythagore.
J'ai bien l'impression que les angles dont on soit à peu près assuré de leurs définitions se limitent à ceux là!
Amicalement
[small]p[/small]appus.