Deux nouvelles parallèles

Bonsoir jelobreuil,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence :

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

M et N les milieux de AB et AC :

$M, N \simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\1\end{array}\right].$

Les points P et Q :

$P, Q\simeq \left[\begin{array}{c} -a^2 + b (b + c)\\ b c\\c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - c (b + c)\\ -b^2\\-b c\end{array}\right].$

Les points I et K :

$I, K \simeq \left[\begin{array}{c} c (b + c)^2 - a^2 (2 b + c)\\ 2 b^2 (b + c)\\ c (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - c^2\\ -b^2\\0\end{array}\right].$

Les points J et L :

$J, L \simeq \left[\begin{array}{c}-b (b + c)^2 + a^2 (b + 2 c)\\ b (-a^2 + b^2 - c^2)\\ -2 c^2 (b + c)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - b^2\\ 0\\-c^2\end{array}\right].$

Montrons que les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont parallèles.

$(IJ) \simeq \left[\begin{array}{c}b c (a^2 + (b + c)^2)\\c ((b - 2 c) (b + c)^2 + a^2 (b + 2 c))\\b (-(2 b - c) (b + c)^2 + a^2 (2 b + c))\end{array}\right]$

$(KL) \simeq \left[\begin{array}{c}b^2 c^2\\ c^2 (a^2 - c^2)\\ b^2 (a^2 - b^2)\end{array}\right]$

On a :

$\left|\begin{array}{ccc} b c (a^2 + (b + c)^2)&c ((b - 2 c) (b + c)^2 + a^2 (b + 2 c))&b (-(2 b - c) (b + c)^2 + a^2 (2 b + c))\\ b^2 c^2& c^2 (a^2 - c^2)&b^2 (a^2 - b^2)\\ 1&1&1 \end{array} \right|\quad =0.$

Ainsi, les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont parallèles.