Sur un même autre cercle
dans Géométrie
Bonne nuit à tous,
Toujours dans la même veine ...
Soit ABC un triangle, P et Q les points d'intersection de la bissectrice de l'angle A et des médiatrices de AB et AC.
Le cercle passant par P, Q et B recoupe AB en J, le cercle passant par P, Q et C recoupe AC en K.
Montrer que B, J, K et C sont sur un même cercle, et que le triangle AJK est indirectement semblable à ABC.
Bien cordialement
JLB
Toujours dans la même veine ...
Soit ABC un triangle, P et Q les points d'intersection de la bissectrice de l'angle A et des médiatrices de AB et AC.
Le cercle passant par P, Q et B recoupe AB en J, le cercle passant par P, Q et C recoupe AC en K.
Montrer que B, J, K et C sont sur un même cercle, et que le triangle AJK est indirectement semblable à ABC.
Bien cordialement
JLB
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Réponses
J'utilise les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence ABC :
$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
Les points P et Q :
$P, Q\simeq \left[\begin{array}{c} -a^2 + b (b + c)\\ b c\\c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - c (b + c)\\ -b^2\\-b c\end{array}\right].$
Les points J et K :
$J, K \simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - c (2 b + c)\\ -b^2\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a^2 + b (b + 2 c)\\ 0\\c^2\end{array}\right].$
Montrons que $B, J, K$ et $C$ sont sur un même cercle.
Une équation barycentrique du cercle BJK est :
$-a^2 (a - b - c) (a + b + c) y z-b^2 (a^2 - b^2 - 2 b c) x z-c^2 (a^2 - 2 b c - c^2) x y-b^2 c^2 x^2=0.$
On a :
$-a^2 (a - b - c) (a + b + c) 0.1-b^2 (a^2 - b^2 - 2 b c) 0.1-c^2 (a^2 - 2 b c - c^2) 0.0-b^2 c^2 0^2=0$
donc $C$ appartient au cercle BJK et ainsi, $B, J, K$ et $C$ sont sur un même cercle dont une équation barycentrique est $a^2 (a - b - c) (a + b + c) y z + b^2 (a^2 - b^2 - 2 b c) x z + c^2 (a^2 - 2 b c - c^2) x y + b^2 c^2 x^2=0.$
Es-tu certain que les triangles $ABC$ et $AJK$ sont indirectement semblables ?
Amicalement
Les ‘’cordes’’ (BL), (PQ) et (CK) étant concourantes en A, d’après le théorème des trois cordes de Monge, B, C, J et K sont cocycliques.
Voir
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol6.html puis Le théorème des trois cordes…
Sincèrement
Jean-Louis
Merci, Jean-Louis et Bouzar, de votre intérêt pour cette petite chose ... et de vos démonstrations !
Bouzar, les triangles ABC et AJK sont bien indirectement semblables puisqu'ils ont en commun l'angle en A et que l'on a l'égalité AB.AJ = AP.AQ = AK.AC (puissance de A par rapport aux deux cercles PQBJ et PQCK), d'où AB/AC = AK/AJ, donc un angle égal entre deux côtés proportionnels : c'est un cas de similitude, non ?
Et j'avais pris soin de le vérifier, en indiquant sur ma figure les valeurs des angles en K et C (fournies par geogebra) ...
Si je ne m'abuse, il me semble bien que nous sommes dans un cas classique d'antiparallélisme, avec les paires de droites (AB, AC) et (BC, JK), n'est-ce pas ?
Bien cordialement
JLB