Une curiosité géométrique
dans Géométrie
Bonjour,
pour se détendre...
1. ABCD un carré,
2. (I) le cercle inscrit
3. E le point d'intersection (proche de A) de [AC] avec (I)
4. F le second point d'intersection de (BE) avec (I).
Donné : BE = 3.BF.
Sincèrement
Jean-Louis.
pour se détendre...
1. ABCD un carré,
2. (I) le cercle inscrit
3. E le point d'intersection (proche de A) de [AC] avec (I)
4. F le second point d'intersection de (BE) avec (I).
Donné : BE = 3.BF.
Sincèrement
Jean-Louis.
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Réponses
Supposons le côté du carré égal à 2 ; dans le triangle rectangle OEB, il vient BE2 = 3.
Mais (puissance de B par rapport au cercle) on a : BE.BF = BK2 = 1.
Donc BF = 1/BE = BE/BE2 = BE/3
cordialement
Casagrande
Soit $E'$ le point diamétralement opposé à $E$.
Démontrer que les médianes du triangle $EFE'$ issues de $F$ et $E$ sont perpendiculaires.
j'appelle O' le milieu de E'F. Je suppose que OE = racine carrée de 3.
On en déduis EB = 3.
J'en déduis que le trapèze rectangle OEFO' vérifie B = EF = 3*2/3 = 2, b = OO' = EF/2 = 1 , h = FE'/2 = racine carrée de 2 ; EO' = racine carrée de 6.
L'aire du trapèze ((B + b)*h/2 )vaut la moitié du produit des diagonales OF*EO' ; c'est donc un quadrilatère orthodiagonal.
Bien cordialement.
kolotoko
En déduire que, si J est le milieu de EF, JD est bissectrice de EJC.
Cordialement
Casagrande
En géométrie analytique on peut calculer les longueurs du rapport demandé en partant par exemple de $ABC$, calcul des ceviennes $BE$ et $BE'$ puis la hauteur $E'F$.
Cordialement.