Une intrigante relation

Bonjour,

Voilà une solution avec Morley inscrit où j'ai renommé le triangle contact $DEF$ en $UVW$.
Les rôles de $X$ et $Y$ sont interchangeables.

% Jean-Louis Ayme - 26 Mars 2021 - Une intrigante relation

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

syms x % Une racine carrée de v*w, c'est à dire qu'on a x^2=v*w

xB=1/x; 

y=-x;
yB=1/y;

% (AC) et (FX) ont pour équations:
% z + v^2* zB - 2*v = 0 et z + w*x*zB - (w+x) = 0 donc:

[t tB]=IntersectionDeuxDroites(1,v^2,-2*v,1,w*x,-w-x); % Point T

t=Factor(t) % On trouve t = v*(v*(w+x)-2*w*x)/(v^2-w*x)

[pty qty rty]=DroiteDeuxPoints(t,y,tB,yB); % Droite (TY)

% Et (VW) a pour équation z + v*w*zB -(v+w) = 0 donc:

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(pty,qty,rty,1,v*w,-v-w); % Point P

Nul=Factor((w-v)-3*(p-v))

% On trouve que le numérateur de Nul est 2*(v^2+w*x)*(v-w)*(-x^2+v*w)
% qui contient le terme -x^2+v*w en facteur qui est effectivement nul.

Cordialement,

Rescassol

effectivement :

- FX et FY sont les deux bissectrices de l'angle AFE (...milieux des deux arcs inscrits),
- dans le triangle AFE, on a donc TA/TE = AF/FE,
- dans le triangle AFH, on aYH/YA = FH/AF,

- donc, d'après Ménélaüs dans le triangle AEH, il vient PE/PH = FE/FH = 2.

Mon cher Jean-Louis
$H$ est très probablement le milieu de $EF$!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir à tous
Comme souvent les énigmes de Jean-Louis ne sont que des cas particuliers de configurations projectives plus générales, lesquelles admettent des solutions synthétiques toutes aussi courtes sinon plus que celles euclidiennes de Jean-Louis.
Sur la figure ci-dessous $\Gamma$ est une conique inscrite dans le triangle $ABC$.
A part cela, j'ai gardé les notations de Jean-Louis et celles de Casagrande.
La droite $EF$ est la polaire de $A$ par rapport à $\Gamma$.
On a donc une défunte division harmonique:
$$(A,H,X,Y)=-1\qquad$$
Laquelle sécrète un non moins défunt faisceau harmonique:
$$(EA,EH,EX,EY)=-1\qquad$$
On prend l'intersection de ce faisceau avec la droite $AC$ pour obtenir la défunte division harmonique:
$$(A,F,T,T')=-1\qquad$$
Laquelle sécrète le défunt faisceau harmonique:
$$(YA,YF,,YT,YT')=-1\qquad$$
dont on prend l'intersection avec la droite $EF$ pour tomber sur la défunte division harmonique:
$$(H,F,P,E)=-1\qquad$$
Arrivé à ce stade, je prétends que nos malheurs sont terminés et qu'on tombe automatiquement sur la relation de Jean-Louis à la seule condition de connaître la défunte théorie des coniques et le groupe du défunt birapport!
Ce qui est sans doute trop demander!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

T'affole pas Ludwig !
Cela n'est rien, tout va très bien !
Pourtant, il faut, il faut que l'on te dise,
On déplore un tout petit rien :
Un incident, une bêtise...
Je continue :
Ce qu'il faut savoir de la théorie des coniques ?
Ben, $H\ $ est le milieu de $EF!!\qquad$.
Ca tombe bien pour Casagrande ce point $H$ !
Le groupe du birapport ? L'antique (pour ne pas dire défunte) routine !
$$(H,F,P,E)=-1\qquad
$$ Donc:
\begin{align*}
(H,P,F,E)&=1-(H,F,P,E)=2\qquad\\
(H,P,F,E)&=(F,E,H,P)=(E,F,P,H)=2.
\end{align*} Comme $\dfrac{\overline{HE}}{\overline{HF}}=-1,\ $ on en déduit :
$$\dfrac{\overline{PE}}{\overline{PF}}=-2\qquad
$$ Bilan.
Que reste-t-il comme coniques ?
Ben, le cercle, de préférence trigonométrique, pour ne pas stresser les âmes sensibles.
Comme preuves ?
Les astuces invraisemblables de Jean-Louis ou bien de laborieux calculs en complexes ou en barycentriques.
Comme la plupart d'entre vous, j'ai lamentablement séché sur cette énigme, jusqu'à ce que la jolie solution de Casagrande ne dégourdisse mes neurones évanescents !
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
Par curiosité, j'ai fait la figure de Jean-Louis dans le cas d'une parabole inscrite, paskeu yen a un peu marrrre des cercles même trigonométriques!
Et la relation est toujours là qui nous observe, intrigante, intrigante, brrrrr....!
Amicalement
[small]p[/small]appus