Coupure d'un trapèze en deux

Bonjour,

Une construction figurant à la page 209 des Éléments de topograhie de Ed. Gabriel, 1914 :

Le cercle de centre $A$ passant par $D$ coupe le demi-cercle $AB$ en F.
$G$ projeté orthogonal de $F$ sur $[AB]$, $H$ milieu de $[BG]$.
La perpendiculaire à $[AB]$ passant par $H$ coupe le demi-cercle en $L$.
Le cercle de centre $A$ passant par $L$ coupe $[AB]$ en $M$.
La droite $(MN)$ sera la parallèle recherchée.

Cette construction est basée sur le théorème suivant : les triangles semblables sont entre eux comme les carré des côtés homologues.

Mon cher Ludwig
Tu lui donnes pratiquement sans commentaires une solution qui me parait loin d'être évidente!
Je me demande bien quel est le niveau de connaissance exigé dans les programmes éthiques actuels pour s'attaquer à cet exercice?
Sans doute Terminales ou bien Bac+$n$?
Il faut tenir compte du fait que les similitudes ont disparu!
Il vaut mieux ne pas s'en servir pour rester compréhensible!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
La solution la moins calculatoire selon moi doit utiliser la formule donnant l'aire sous la courbe:
$$S=\int_a^bf(x)dx\qquad$$
Est-elle encore enseignée en Terminales?

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, l'équation du problème est $2(a - b)x^2 - 4ahx + (a+b)h^2 = 0$, avec $a, b, h$ grande base, petite base et hauteur, et $x$ distance de la grande base à la parallèle cherchée ; l'une des deux racines est exclue, car supérieure à $h$.

Pour établir cette équation, il suffit de connaître l'aire du trapèze, le théorème de Thalès et les propriétés des proportions.

Il faut voir ensuite si la construction de la racine du trinôme en $x$ est une bonne solution aux yeux de Lemoine ou des autres experts..

A+

Bonjour Ludwig
C'est bien ce que je disais!
Il ne faut pas se mentir!
Ce problème est infaisable aujourd'hui avec le peu de géométrie encore enseignée!
Le seul intérêt de cet exercice est d'établir la formule de Piteux_gore.
Je le fais de façon affine car on peut parfaitement se passer de la géométrie euclidienne!
Voir le cours de Perrin par exemple sur les calculs de rapports d'aires!
Le segment $AB$ est le graphe de la fonction:
$$f:[0,1]\longmapsto \mathbb R^*; t\mapsto (b-a)t+a\qquad$$
Donc
$$S(x)=\int_0^x ((b-a)t+a) dt=(b-a)\dfrac{x^2}2+ax\qquad$$
On doit donc résoudre l'équation:
$$S(x)=(b-a)\dfrac{x^2}2+ax=\dfrac 12S(1)=\dfrac 14(a+b)\qquad$$
C'est l'équation de Piteux_gore!
L'avantage, aujourd'hui de cette méthode:
1° Pas besoin de savoir quoique ce soit en géométrie, même le Divin Axiome de Thalès.
Ce qui tombe on ne peut mieux!!
2° Par contre il faut connaître la formule donnant l'aire sous la courbe.
En principe elle est enseignée en Taupe et peut-être en Terminales
Et évidemment il faut connaître la primitive de la fonction $x\mapsto x^n.\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ma bissection du trapèze sur la figure ci-dessous a été obtenue par le calcul sans le début du commencement de la moindre construction géométrique.
Ah quoi bon se servir d'instruments obsolètes puisque la géométrie a disparu de toutes façons.
Par contre pour voir si on a bien maitrisé et compris cette bissection, il n'est pas interdit de tracer le lieu du point $Q$ quand le point $B$ varie sur la parallèle à $OA$ passant par $U$.
Ce qui est drôle, c'est qu'historiquement le calcul intégral a été inventé pour résoudre ces problèmes d'aires en géométrie
Eh bien, même cela, même cela a disparu de notre culture!

Piteux-gore a déjà donné l'équation qui permet de trouver où il faut couper le trapèze.
Ensuite, il me semble que la construction permet simplement de trouver la racine positive de cette équation, mais je n'ai pas vérifié.

Je ne crois pas qu'on arrive à donner une démonstration purement géométrique de cette construction.
[Edit] Évidemment, il a suffi que j'écrive cela pour qu'une preuve surgisse juste au-dessus de mon message ! :-X

Sur la courbe tracée par pappus, lorsque $b$ tend vers $\pm \infty$, l'abscisse de $P$ converge vers $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Géométriquement cela s'explique par le fait que le quadrilatère se rapproche du triangle $OBU$ . En utilisant le théorème de Thalès on montre que le carré de $ \frac{OP}{OU}$ est égal au quotient des aires, c'est-à-dire ici à $ \frac{1}{2}.$
Je n'ai pas encore réussi à calculer l'équation de cette courbe. De quelle genre de courbe s'agit-il ?

Merci Ludwig de nous remettre en mémoire ce très beau livre d'Edmond Gabriel, Éléments de topographie et tracé des voies de communication, Mame, Tours, De Gigord, Paris, 1911, plusieurs fois réédité, 676 pages. À part les maths, on en apprend beaucoup sur la topographie à cette époque, avec de grands encarts très riches d'enseignement. Franchement, je n'avais fait que le feuilleter, et je n'aurais jamais pensé aller y chercher une réponse à un problème mathématique. Ludwig l'a fait, et c'est tant mieux. Je joins les pages en question.
Cette construction géométrique n'a rien d’artificiel, elle est comme toutes les constructions avec règle et compas. Celles-ci sont considérées comme passées de mode, déjà Jean Dieudonné en contestait l'intérêt il y a cinquante ans, mais puisque c'est la question posée, Ludwig a eu raison d'y répondre, et sa réponse me semble satisfaisante.
Par contre, ce qui est vraiment étrange, c'est d'aller chercher des intégrales pour calculer l'aire d'un polygone, mais bon, tous les goûts sont dans la nature.
Je reviens sur l'auteur, Edmond Gabriel, qui a écrit aussi :
Manuel de pédagogie à l'usage des écoles catholiques, Mame, De Gigord, 1909.
Précis de mécanique - Théorique et pratique - suivi de problèmes - Enseignement Professionnel, Mame, De Gigord, 1921.
Arpentage et levé des plans, Nivellement, tracé des routes, Mame, De Gigord, 1930.
J'aurais aimé en savoir plus sur cet auteur, mais je n'ai rien trouvé. Trop catho pour la BnF, peut-être ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Mon cher Jelobreuil
Tu ne peux parler de la nature cissoïdale de ce lieu sans avoir formé son équation!
Donc le problème, c'est d'écrire cette maudite équation et tout le reste est littérature!
C'est quand même plus intéressant que la règle ébréchée et le compas rouillé!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mais comment fait-on pour trouver l'équation de cette satanée cissoïde ?? Je me doute bien qu'il faut partir des équation données par pappus, à savoir celle de la droite $(AB)$ : $y=(b-a)x+a$ et celle liée aux aires : $$(b-a)\dfrac{x^2}2+ax=\dfrac14(a+b).\qquad$$
Le nombre $b$ ici est une variable. On peut toujours résoudre cette dernière équation mais après ? Je sèche complètement.

Mon cher Rescassol
Résultant?
C'est un bien grand mot pour si peu de chose!
C'est un simple problème d'élimination comme tu l'as dit!
On tire $b$ de l'équation de Piteux_gore et on la reporte dans l'équation de la droite $AB$.
Mais même cela parait trop difficile pour certains!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
On s'en fiche de la cissoïde sortie de l'imagination fertile de Jelobreuil!!
Il s'agit de calculer l'équation d'une courbe!!!
L'as-tu fait?
De préférence avec mes notations et dans le repère: $\{O;(\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OA})\}.\qquad$
On peut donc toujours supposer $a=1$!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ludwig
Qu'entends-tu par tracer une courbe dont tu connais l'équation?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour

Ne découragez pas les gens ! La formule, donnée en premier par Piteux_gore, ne demande ni Thalès, ni intégrale. Seulement l'aire d'un trapèze. Je le sais, c'est comme ça que j'ai fait.

$h_1^2[2(a-b)] + h_1[-4ah]+ h^2(a+b)=0$

Ensuite, voyons l'équation du lieu pointé par Pappus.

Notez bien que la formule précédente ne dépend nullement des encrages des bases du trapèze ! Seules les longueurs comptent. Cela signifie qu'on aura une symétrie si B passe de l'autre côté de U. C'est plus cette symétrie que l'on observe, qu'une cissoïde, à mon humble avis; Un miroir de parabole tronquée.

Par le discriminant réduit, on a :

$\displaystyle h_1=\frac{2ah\pm\sqrt{4a^2h^2-2(a+b)h^2(a-b)}}{2(a-b)}$
$\displaystyle h_1=\frac{2ah\pm h\sqrt{4a^2-2a^2+2b^2}}{2(a-b)}$
$\displaystyle h_1=\frac{h}{(a-b)}(a\pm \frac{\sqrt 2}{2} \sqrt{a^2+b^2})$

Je me rends compte que j'ai fait tourner le graphique, par rapport à Pappus. Mes coordonnées sont :
O(0;0) A(a;0) B($x_B$;h) U($x_B+b$;h) Q($x_Q$;h1)

Or Q appartient à (AB).
$x_Q=a+\frac{h_1}{h}(x_B-a)$

D'où le graphique obtenu avec gnuplot en coordonnées paramétriques :

Bonjour.

A mon avis ; il faut tenir compte des angles B et C à la grande Base du trapeze ( voir la figure de Ludwig).

Parceque la position de la droite (MN) varie en fonction des angles B et C.

Cordialement.
Djelloul Sebaa

Limiter la cubique ? C'est je pense prendre $b>0$ car sinon les aires ne sont pas comptées comme il le faut (quadrilatère croisé). Mais même avec ça, la courbe ne colle pas.
Ou alors, pour $b<0$, il faut calculer autrement. Mais de toute façon pour la première branche ça ne colle déjà pas.

Merci Pappus de ton intérêt.

L'image que j'ai postée n'est pas symétrique ! (Évidemment en regardant les bords). Et en zoomant sur la brisure, il y a 3 zones (au moins), qui doivent correspondre aux changements de signes de longueurs algébriques qui ne devraient pas être. Seule la partie de gauche est valable.

Essaie de zoomer sur ton dessin. Confirmes-tu 3 zones ?

Bonjour.

Voici le lien : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,504272,504272

Cordialement.

Djelloul Sebaa

Une contribution un peu tardive à partir d'une étude ancienne:

Equipartition d’un trapèze

La tablette babylonienne IM 58045 (- 2300) présente l’équipartition d’un trapèze, de bases 7 et 17 coudées, par une ligne parallèle aux bases. La tablette YBC 4675 donne la solution avec une ligne de partage de 13 coudées.

La solution fut sans doute basée sur la propriété évidente attachée aux agrandissements et réductions de figures géométriques. « Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un certain nombre k, (sans modification des angles), l’aire de la figure obtenue est égale à la première multipliée par le carré de ce nombre, k². »

En référence aux éléments de la figure construite ci-dessous, le triangle OEF est l’agrandissement du triangle ODC dans le rapport t/b. Si l’on prend pour unité d’aire celle du triangle ODC, alors la mesure du triangle OEF est égale à (t/b)². De même celle du triangle OAB est (a/b)².
En procédant par soustraction, la mesure de l’aire du trapèze DEFC est (t/b)² - 1, et celle du trapèze ABEF, (a/b)² - (t/b)². Ces deux aires sont égales si t² = (a² + b²)/2, c’est-à-dire si la base intermédiaire est la moyenne quadratique des deux autres.
On a bien (7² +17²)/2 = 13². Les scribes de Babylone étaient d’excellents mathématiciens !

Construction de t : (Cabri géomètre) Capture d'écran faite par un tiers.