Un carré et son cercle inscrit
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABCD un carré
2. (I) le cercle inscrit à ABCD
3. P le point de contact de (I) avec (AB)
4. U, V deux points resp. de [PB], [BC] tels que (UV) soit tangente à (I) et perpendiculaire à (DU)
5. T le point de contact de (UV) avec (I).
Question : VT/VU = AU/AB.
Merci beaucoup à A.D. pour son aide...
Sincèrement
Jean-Louis.
1. ABCD un carré
2. (I) le cercle inscrit à ABCD
3. P le point de contact de (I) avec (AB)
4. U, V deux points resp. de [PB], [BC] tels que (UV) soit tangente à (I) et perpendiculaire à (DU)
5. T le point de contact de (UV) avec (I).
Question : VT/VU = AU/AB.
Merci beaucoup à A.D. pour son aide...
Sincèrement
Jean-Louis.
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Réponses
Ne serait-ce pas plutôt TV/TU = UA / UB ?
d'après ma preuve ma question est correcte...
Peut-être avez-vous déjà une idée? ou bien une équivalence du résultat?
Comme je pratique le doute méthodique dans le monde extérieur, je pense que Bouzar ou Rescassol pourront confirmer...
Sincèrement
Jean-Louis
En tous cas, pour l'instant, je ne peux rien prouver du tout.
mon schéma de preuve...
1. R le point de contact de (I) avec [CD]
L le point d'intersection de (IT) avec (CD)
2. (DU), (IT) et (RV) sont parallèles entre elles
3. 2.RL = AU
4. le théorème de Thalès conduit à la question...
Pouvez-vous vérifier ce schéma de preuve?
Sincèrement
Jean-Louis
J'ai beau retourner le logiciel dans tous les sens je ne trouve pas ce qui cloche.
Il me confirme que RL/RD = VT/VU mais prétend que AU est différent de 2RL.
Pourtant, quand je place L' symétrique de R par rapport à L et que je trace le cercle de centre A de rayon LL' alors il me dit que U est sur ce cercle !??!!!
Je vais envoyer ce problème sur le forum GeoGebra. Voir la figure jointe.
Jean-Louis
Désolé Jean-Louis.
Je veux bien croire que les droites $DU$ et $RV$ sont parallèles mais je reste sceptique sur ta droite $IT!!!!\qquad$
$(I)$ est le cercle inscrit au carré $ABCD$ et tu as la (mauvaise) habitude de donner le même nom à un cercle et à son centre.
Donc si je suis tes habitudes, le point $I$ serait le centre du carré.
Mézalor $IT\perp UV$ et ne saurait être parallèles aux droites $DU$ et $RV$.
le mieux est encore que tu nous fasses une figure claire avec ce que tu entends par le point $I$ dont tu n'as pas donné formellement la définition.
Amicalement
[small]p[/small]appus
C'est triste d'être vieux.
J'ai tendance à lire en diagonale!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le problème n'est pas tant de montrer la relation de Jean-Louis que de construire effectivement sa figure!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voilà une solution par les complexes (L'équation de degré $3$ ne peut se résoudre que de façon approchée): Cordialement,
Rescassol
Les droites $(PL)$ et $(DU)$ se croisent sur la courbe d'équation $y=-2 x^3 + 2 x^2 - 2 x + 1$, en orange sur la figure.
Alors quoi?
Il faut avoir le courage de ses opinions.
La configuration de Jean-Louis n'est pas constructible à la règle et au compas!
Mais avec un logiciel tel que GeoGebra, on peut se passer de ces instruments obsolètes.
Comment faire malgré tout pour tracer la figure de Jean-Louis?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il s'en faut de peu pour que tu sois très très bon.
Tes connaissances en géométrie sont sans doute solides et au niveau exigé par les programmes actuels mais cela ne suffit pas.
Il faudra t'investir beaucoup plus dans ce domaine pour progresser!
Encore une fois, un grand bravo pour ta motivation!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Très très bon moi... hum.. pappus.. je fais juste mumuse avec GeoGebra, ça me détend. Des connaissances solides même pas, je n'étais déjà pas très fort étant étudiant et aujourd'hui, après 20 ans dans l'EN... il ne me reste presque rien. La dure réalité du métier quoi!
Encore un raisonnement très prisé de nos anciens!
Sur ma figure, on voit que la droite $UV$ est tangente à la parabole de foyer $D$ et de tangente au sommet $AB$ et aussi tangente à la parabole de foyer $R$ et de tangente au sommet $BC$.
C'est donc une tangente commune à ces deux paraboles.
Or les paraboles sont des courbes de la seconde classe.
Deux paraboles ont donc en général quatre tangentes communes mais on le sait, ou plus exactement on le savait, elles sont tangentes à la droite de l'infini qui est une tangente commune.
Reste trois!
Pas étonnant que tu sois tombé sur un problème du troisième degré!
Et ma dernière figure suggère fortement que ton polynôme a une seule racine réelle et deux imaginaires conjuguées.
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Une dernière remarque autour de la configuration de Jean-Louis.
Pour que la droite $UV$ soit tangente au cercle $(I)$, les points $U$ et $V$ doivent être en homographie et dans cette homographie $DU\parallel RV$.
C'est cette circonstance qui m'a fait oublier que Jean-Louis avait supposé en plus $DU\perp UV$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
ta dernière figure a été proposé au Compétition Kürschak de Hongrie en 1960 que nous pouvons résoudre à l'aide des théorèmes de Desargues et de Pascal en introduisant un raisonnement par l'absurde....
Sur les sites anglo-saxon et d'autres, un cercle noté (I) renvoie indirectement à son centre I ce qui économise une ligne d'hypothèses...ce n'est pas l'attitude que j'ai prise sur mon site...quant aux problèmes de construction par lesquels nous étions obligés par le passé, ils sont le plus souvent occultés dans ces sites modernes...
Sincèrement
Jean-Louis
Bonne journée
Une petite construction utilisant l'hyperbole équilatère d'asymptotes les droites $CD$ et $IP$ et passant par le milieu $Q$ de $\left[ BC\right] $.
Amicalement. Poulbot
j'ai pensé à vous hier...
Avec mes meilleures pensées
Jean-Louis
Toujours élégant comme d'habitude.
L'intersection d'un cercle et d'une hyperbole.
C'est mieux pour Cabri!
Il fallait y penser!
Mais c'est un nouveau problème dans le problème que tu nous poses!
Amicalement
[small]p[/small]appus
pour votre message qui m'a beaucoup touché.
Très cordialement. Poulbot
Vous rendre visite est toujours un plaisir.
Quant à mon "problème dans le problème", nos experts ne devraient en faire qu'une bouchée.
Amicalement. Poulbot
Pour terminer la question initiale de Jean-Louis, il faut encore montrer que $DL = \dfrac{UB}{2}$ (avec les notations de Ludwig) et il ne me semble pas que quelqu'un l'ait fait.
Et j'ajoute un autre petit problème posé par Géogébra : la tangente à l'hyperbole en T coupe BC en W et sa perpendiculaire en W passe par $\Omega$ (toujours les notations de Ludwig).
Bien du courage m'sieurs-dames.
Mon code ci-dessus termine la question initiale de Jean-Louis sans utiliser de $L$ que Jean-louis ne définit ni n'utilise.
D'autre part, voilà le code à rajouter pour vérifier la solution de Poulbot, (qu'on ne voit plus très souvent ici, et c'est dommage, et que je salue):
Cordialement,
Rescassol
regarder (problème concernant mon ancien Word)
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol27.html puis
Miniatures géométriques sur un carré, addendum VI puis p. 27-31.
Sincèrement
Jean-Louis